代数例

$x^{4} - 29 x^{2} + 100 = 0$

ステップ 1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 29 x^{2} + 100 = 0$

ステップ 2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} - 29 u + 100 = 0$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 29 u + 100$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $100$ で、その和が $- 29$ です。

$- 25, - 4$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 25) (u - 4) = 0$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(x^{2} - 25) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 5

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 8

因数分解。

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ステップ 8.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x + 5) (x - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 8.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 5) (x - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 10

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 11

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 12

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 13

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 14

最終解は $(x + 5) (x - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 5, 5, - 2, 2$

代数 例

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