代数例

$3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

項を再分類します。

$6 x - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

ステップ 1.2

$2$ を $6 x - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$2 (3 x) - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

ステップ 1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (3 x) + 2 (- 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

ステップ 1.2.3

$2$ を $2 (3 x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$2 (3 x - 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

ステップ 1.3

$x^{2}$ を $3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{2}$ を $3 x^{4}$ で因数分解します。

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x^{2}$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} = 0$

ステップ 1.3.3

$1$ を掛けます。

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3.4

$x^{2}$ を $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ で因数分解します。

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3.5

$x^{2}$ を $x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

ステップ 1.4

因数分解。

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ステップ 1.4.1

群による因数分解。

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ステップ 1.4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.4.1.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

ステップ 1.4.1.1.2

$- 4$ を $- 1$ プラス $- 3$ に書き換える

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

ステップ 1.4.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

ステップ 1.4.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.4.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

ステップ 1.4.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (3 x - 1) + x^{2} (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

ステップ 1.4.1.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 1.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

ステップ 1.5

$3 x - 1$ を $2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.1

$3 x - 1$ を $2 (3 x - 1)$ で因数分解します。

$(3 x - 1) \cdot 2 + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

ステップ 1.5.2

$3 x - 1$ を $x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1)) = 0$

ステップ 1.5.3

$3 x - 1$ を $(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1))$ で因数分解します。

$(3 x - 1) (2 + x^{2} (x - 1)) = 0$

ステップ 1.6

分配則を当てはめます。

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

ステップ 1.7

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.7.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

ステップ 1.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(3 x - 1) (2 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

ステップ 1.7.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(3 x - 1) (2 + x^{3} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

ステップ 1.8

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - 1 x^{2}) = 0$

ステップ 1.9

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - x^{2}) = 0$

ステップ 1.10

項を並べ替えます。

$(3 x - 1) (x^{3} - x^{2} + 2) = 0$

ステップ 1.11

因数分解。

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ステップ 1.11.1

有理根検定を用いて $x^{3} - x^{2} + 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.11.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 1.11.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 1.11.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.11.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

ステップ 1.11.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

ステップ 1.11.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

ステップ 1.11.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 1 + 2$

ステップ 1.11.1.3.5

$- 1$ から $1$ を引きます。

$- 2 + 2$

ステップ 1.11.1.3.6

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.11.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

ステップ 1.11.1.5

$x^{3} - x^{2} + 2$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.11.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

ステップ 1.11.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

ステップ 1.11.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.11.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.11.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

ステップ 1.11.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 1.11.1.5.7

被除数 $- 2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 1.11.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.11.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.11.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

ステップ 1.11.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

ステップ 1.11.1.5.12

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

ステップ 1.11.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

ステップ 1.11.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x + 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

ステップ 1.11.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

ステップ 1.11.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x + 2$

ステップ 1.11.1.6

$x^{3} - x^{2} + 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(3 x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)) = 0$

ステップ 1.11.2

不要な括弧を削除します。

$(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

ステップ 3

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 3.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

$x^{2} - 2 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x^{2} - 2 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3

簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i, 1 - i$

ステップ 6

最終解は $(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, - 1, 1 + i, 1 - i$

ステップ 7

代数 例

代数例