代数例

$P (x) = 3 x^{5} - 14 x^{4} - 14 x^{3} + 36 x^{2} + 43 x + 10$

ステップ 1

$3 x^{5} - 14 x^{4} - 14 x^{3} + 36 x^{2} + 43 x + 10$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{5} - 14 x^{4} - 14 x^{3} + 36 x^{2} + 43 x + 10 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 14 x^{4} - 14 x^{3} + 3 x^{5} + 36 x^{2} + 43 x + 10 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 14 x^{3}$ を $- 14 x^{4} - 14 x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 14 x^{3}$ を $- 14 x^{4}$ で因数分解します。

$- 14 x^{3} x - 14 x^{3} + 3 x^{5} + 36 x^{2} + 43 x + 10 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 14 x^{3}$ を $- 14 x^{3}$ で因数分解します。

$- 14 x^{3} x - 14 x^{3} \cdot 1 + 3 x^{5} + 36 x^{2} + 43 x + 10 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 14 x^{3}$ を $- 14 x^{3} (x) - 14 x^{3} (1)$ で因数分解します。

$- 14 x^{3} (x + 1) + 3 x^{5} + 36 x^{2} + 43 x + 10 = 0$

ステップ 2.1.3

有理根検定を用いて $3 x^{5} + 36 x^{2} + 43 x + 10$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2.1.3.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 5, \pm 1.\overline{6}$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$3 {(- 1)}^{5} + 36 {(- 1)}^{2} + 43 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.1.3.3.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$3 \cdot - 1 + 36 {(- 1)}^{2} + 43 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.1.3.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 + 36 {(- 1)}^{2} + 43 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.1.3.3.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 3 + 36 \cdot 1 + 43 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.1.3.3.5

$36$ に $1$ をかけます。

$- 3 + 36 + 43 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.1.3.3.6

$- 3$ と $36$ をたし算します。

$33 + 43 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.1.3.3.7

$43$ に $- 1$ をかけます。

$33 - 43 + 10$

ステップ 2.1.3.3.8

$33$ から $43$ を引きます。

$- 10 + 10$

ステップ 2.1.3.3.9

$- 10$ と $10$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{5} + 36 x^{2} + 43 x + 10}{x + 1}$

ステップ 2.1.3.5

$3 x^{5} + 36 x^{2} + 43 x + 10$ を $x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

ステップ 2.1.3.5.2

被除数 $3 x^{5}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

ステップ 2.1.3.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

ステップ 2.1.3.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{5} + 3 x^{4}$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

ステップ 2.1.3.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

ステップ 2.1.3.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{4}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

ステップ 2.1.3.5.7

被除数 $- 3 x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

ステップ 2.1.3.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

ステップ 2.1.3.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{4} - 3 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

ステップ 2.1.3.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

ステップ 2.1.3.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

ステップ 2.1.3.5.12

被除数 $3 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

ステップ 2.1.3.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 2.1.3.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{3} + 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 2.1.3.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

ステップ 2.1.3.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

ステップ 2.1.3.5.17

被除数 $33 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

ステップ 2.1.3.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

ステップ 2.1.3.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $33 x^{2} + 33 x$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

ステップ 2.1.3.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$10 x$

ステップ 2.1.3.5.21

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$10 x$

$10$

ステップ 2.1.3.5.22

被除数 $10 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$10 x$

$10$

ステップ 2.1.3.5.23

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$10 x$

$10$

$10 x$

$10$

ステップ 2.1.3.5.24

式は被除数から引く必要があるので、 $10 x + 10$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$10 x$

$10$

$10 x$

$10$

ステップ 2.1.3.5.25

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$36 x^{2}$

$43 x$

$10$

$3 x^{5}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$36 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$43 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$10 x$

$10$

$10 x$

$10$

$0$

ステップ 2.1.3.5.26

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$3 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10$

ステップ 2.1.3.6

$3 x^{5} + 36 x^{2} + 43 x + 10$ を因数の集合として書き換えます。

$- 14 x^{3} (x + 1) + (x + 1) (3 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10) = 0$

ステップ 2.1.4

$x + 1$ を $- 14 x^{3} (x + 1) + (x + 1) (3 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$x + 1$ を $- 14 x^{3} (x + 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (- 14 x^{3}) + (x + 1) (3 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10) = 0$

ステップ 2.1.4.2

$x + 1$ を $(x + 1) (- 14 x^{3}) + (x + 1) (3 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10)$ で因数分解します。

$(x + 1) (- 14 x^{3} + 3 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10) = 0$

ステップ 2.1.5

$- 14 x^{3}$ から $3 x^{3}$ を引きます。

$(x + 1) (3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10 = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

$3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

有理根検定を用いて $3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 5, \pm 1.\overline{6}$

ステップ 2.4.2.1.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$3 {(- 1)}^{4} - 17 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 33 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 1 - 17 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 33 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - 17 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 33 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$3 - 17 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 33 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.5

$- 17$ に $- 1$ をかけます。

$3 + 17 + 3 {(- 1)}^{2} + 33 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.6

$3$ と $17$ をたし算します。

$20 + 3 {(- 1)}^{2} + 33 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$20 + 3 \cdot 1 + 33 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.8

$3$ に $1$ をかけます。

$20 + 3 + 33 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.9

$20$ と $3$ をたし算します。

$23 + 33 \cdot - 1 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.10

$33$ に $- 1$ をかけます。

$23 - 33 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.11

$23$ から $33$ を引きます。

$- 10 + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.3.12

$- 10$ と $10$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.4.2.1.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10}{x + 1}$

ステップ 2.4.2.1.1.5

$3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10$ を $x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

ステップ 2.4.2.1.1.5.2

被除数 $3 x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

ステップ 2.4.2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

ステップ 2.4.2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{4} + 3 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

ステップ 2.4.2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

ステップ 2.4.2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.5.7

被除数 $- 20 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 20 x^{3} - 20 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

ステップ 2.4.2.1.1.5.12

被除数 $23 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

ステップ 2.4.2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

$23 x^{2}$

$23 x$

ステップ 2.4.2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $23 x^{2} + 23 x$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

$23 x^{2}$

$23 x$

ステップ 2.4.2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

$23 x^{2}$

$23 x$

$10 x$

ステップ 2.4.2.1.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

$23 x^{2}$

$23 x$

$10 x$

$10$

ステップ 2.4.2.1.1.5.17

被除数 $10 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$10$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

$23 x^{2}$

$23 x$

$10 x$

$10$

ステップ 2.4.2.1.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$10$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

$23 x^{2}$

$23 x$

$10 x$

$10$

$10 x$

$10$

ステップ 2.4.2.1.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $10 x + 10$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$10$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

$23 x^{2}$

$23 x$

$10 x$

$10$

$10 x$

$10$

ステップ 2.4.2.1.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$10$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$17 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x$

$10$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$20 x^{3}$

$3 x^{2}$

$20 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x^{2}$

$33 x$

$23 x^{2}$

$23 x$

$10 x$

$10$

$10 x$

$10$

$0$

ステップ 2.4.2.1.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$3 x^{3} - 20 x^{2} + 23 x + 10$

ステップ 2.4.2.1.1.6

$3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (3 x^{3} - 20 x^{2} + 23 x + 10) = 0$

ステップ 2.4.2.1.2

有理根検定を用いて $3 x^{3} - 20 x^{2} + 23 x + 10$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2.4.2.1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 5, \pm 1.\overline{6}$

ステップ 2.4.2.1.2.3

$- 0.\overline{3}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.\overline{3}$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.2.3.1

$- 0.\overline{3}$ を多項式に代入します。

$3 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 23 \cdot - 0.\overline{3} + 10$

ステップ 2.4.2.1.2.3.2

$- 0.\overline{3}$ を $3$ 乗します。

$3 \cdot - 0.\overline{037} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 23 \cdot - 0.\overline{3} + 10$

ステップ 2.4.2.1.2.3.3

$3$ に $- 0.\overline{037}$ をかけます。

$- 0.\overline{1} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 23 \cdot - 0.\overline{3} + 10$

ステップ 2.4.2.1.2.3.4

$- 0.\overline{3}$ を $2$ 乗します。

$- 0.\overline{1} - 20 \cdot 0.\overline{1} + 23 \cdot - 0.\overline{3} + 10$

ステップ 2.4.2.1.2.3.5

$- 20$ に $0.\overline{1}$ をかけます。

$- 0.\overline{1} - 2.\overline{2} + 23 \cdot - 0.\overline{3} + 10$

ステップ 2.4.2.1.2.3.6

$- 0.\overline{1}$ から $2.\overline{2}$ を引きます。

$- 2.\overline{3} + 23 \cdot - 0.\overline{3} + 10$

ステップ 2.4.2.1.2.3.7

$23$ に $- 0.\overline{3}$ をかけます。

$- 2.\overline{3} - 7.66666666 + 10$

ステップ 2.4.2.1.2.3.8

$- 2.\overline{3}$ から $7.66666666$ を引きます。

$- 10 + 10$

ステップ 2.4.2.1.2.3.9

$- 10$ と $10$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.4.2.1.2.4

$- 0.\overline{3}$ は既知の根なので、多項式を $3 x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{3} - 20 x^{2} + 23 x + 10}{3 x + 1}$

ステップ 2.4.2.1.2.5

$3 x^{3} - 20 x^{2} + 23 x + 10$ を $3 x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$20 x^{2}$

$23 x$

$10$

ステップ 2.4.2.1.2.5.2

被除数 $3 x^{3}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$

ステップ 2.4.2.1.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			+	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$

ステップ 2.4.2.1.2.5.7

被除数 $- 21 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$

ステップ 2.4.2.1.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$7 x$

ステップ 2.4.2.1.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 21 x^{2} - 7 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$7 x$

ステップ 2.4.2.1.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$30 x$

ステップ 2.4.2.1.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$30 x$	+	$10$

ステップ 2.4.2.1.2.5.12

被除数 $30 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$30 x$	+	$10$

ステップ 2.4.2.1.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$30 x$	+	$10$
							+	$30 x$	+	$10$

ステップ 2.4.2.1.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $30 x + 10$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$30 x$	+	$10$
							-	$30 x$	-	$10$

ステップ 2.4.2.1.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$23 x$	+	$10$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$21 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$30 x$	+	$10$
							-	$30 x$	-	$10$
										$0$

ステップ 2.4.2.1.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 7 x + 10$

ステップ 2.4.2.1.2.6

$3 x^{3} - 20 x^{2} + 23 x + 10$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) ((3 x + 1) (x^{2} - 7 x + 10)) = 0$

ステップ 2.4.2.1.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 10$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 10$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 10$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $10$ で、その和が $- 7$ です。

$- 5, - 2$

ステップ 2.4.2.1.3.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) ((3 x + 1) ((x - 5) (x - 2))) = 0$

ステップ 2.4.2.1.3.1.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) ((3 x + 1) (x - 5) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.4.2.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (3 x + 1) (x - 5) (x - 2) = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$3 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4.2.4

$3 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1

$3 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2.4.2

$x$ について $3 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x = - 1$

ステップ 2.4.2.4.2.2

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.2.1

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.4.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.4.2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.4.2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.4.2.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.4.2.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.4.2.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.4.2.7

最終解は $(x + 1) (3 x + 1) (x - 5) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - \frac{1}{3}, 5, 2$

ステップ 2.5

最終解は $(x + 1) (3 x^{4} - 17 x^{3} + 3 x^{2} + 33 x + 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - \frac{1}{3}, 5, 2$

ステップ 3

代数 例

代数例