代数例

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$

ステップ 1

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

ステップ 2.1.2

$- x^{3}$ を $- x^{4} + x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- x^{3}$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$- x^{3} x + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- x^{3}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$- x^{3} x - x^{3} \cdot - 1 + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- x^{3}$ を $- x^{3} (x) - x^{3} \cdot - 1$ で因数分解します。

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

ステップ 2.1.3

群による因数分解。

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ステップ 2.1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 21 \cdot 20 = 420$ で和が $b = - 41$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.3.1.1

$- 41$ を $- 41 x$ で因数分解します。

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

ステップ 2.1.3.1.2

$- 41$ を $- 20$ プラス $- 21$ に書き換える

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} + (- 20 - 21) x + 20 = 0$

ステップ 2.1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

ステップ 2.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

ステップ 2.1.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- x^{3} (x - 1) + x (21 x - 20) - (21 x - 20) = 0$

ステップ 2.1.3.3

最大公約数 $21 x - 20$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.4

$x - 1$ を $- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.4.1

$x - 1$ を $- x^{3} (x - 1)$ で因数分解します。

$(x - 1) (- x^{3}) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.4.2

$x - 1$ を $(21 x - 20) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20) = 0$

ステップ 2.1.4.3

$x - 1$ を $(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20)$ で因数分解します。

$(x - 1) (- x^{3} + 21 x - 20) = 0$

ステップ 2.1.5

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1

因数分解した形で $- x^{3} + 21 x - 20$ を書き換えます。

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ステップ 2.1.5.1.1

有理根検定を用いて $- x^{3} + 21 x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.5.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

ステップ 2.1.5.1.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.5.1.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$- 1^{3} + 21 \cdot 1 - 20$

ステップ 2.1.5.1.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 1 + 21 \cdot 1 - 20$

ステップ 2.1.5.1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 21 \cdot 1 - 20$

ステップ 2.1.5.1.1.3.4

$21$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 21 - 20$

ステップ 2.1.5.1.1.3.5

$- 1$ と $21$ をたし算します。

$20 - 20$

ステップ 2.1.5.1.1.3.6

$20$ から $20$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.5.1.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- x^{3} + 21 x - 20}{x - 1}$

ステップ 2.1.5.1.1.5

$- x^{3} + 21 x - 20$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

ステップ 2.1.5.1.1.5.2

被除数 $- x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

ステップ 2.1.5.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

ステップ 2.1.5.1.1.5.7

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

ステップ 2.1.5.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.5.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.1.5.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$

ステップ 2.1.5.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

ステップ 2.1.5.1.1.5.12

被除数 $20 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

ステップ 2.1.5.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

ステップ 2.1.5.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $20 x - 20$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

ステップ 2.1.5.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

ステップ 2.1.5.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- x^{2} - x + 20$

ステップ 2.1.5.1.1.6

$- x^{3} + 21 x - 20$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - x + 20)) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2

群による因数分解。

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ステップ 2.1.5.1.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.2.1.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - (x) + 20)) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2.1.1.2

$- 1$ を $4$ プラス $- 5$ に書き換える

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + (4 - 5) x + 20)) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + 4 x - 5 x + 20)) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) ((x - 1) ((- x^{2} + 4 x) - 5 x + 20)) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) ((x - 1) (x (- x + 4) + 5 (- x + 4))) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2.1.3

最大公約数 $- x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) ((x - 1) ((- x + 4) (x + 5))) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) ((x - 1) (- x + 4) (x + 5)) = 0$

ステップ 2.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

ステップ 2.1.6

指数をまとめます。

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ステップ 2.1.6.1

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

ステップ 2.1.6.2

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

ステップ 2.1.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 1)}^{1 + 1} (- x + 4) (x + 5) = 0$

ステップ 2.1.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 1)}^{2} = 0$

$- x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2.3

${(x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

${(x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について ${(x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.4

$- x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$- x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$- x + 4 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $- x + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x = - 4$

ステップ 2.4.2.2

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 2.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.6

最終解は ${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, 4, - 5$

ステップ 3

代数 例

代数例