代数例

$x + 3 = \sqrt{2 x - 1} + 5$

ステップ 1

根号が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\sqrt{2 x - 1} + 5 = x + 3$

ステップ 2

$\sqrt{2 x - 1}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$\sqrt{2 x - 1} = x + 3 - 5$

ステップ 2.2

$3$ から $5$ を引きます。

$\sqrt{2 x - 1} = x - 2$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 x - 1}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x - 1}$ を ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 x - 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.2.1.2

簡約します。

$2 x - 1 = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

${(x - 2)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$2 x - 1 = (x - 2) (x - 2)$

ステップ 4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 x - 1 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

ステップ 4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 x - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

ステップ 4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 x - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x - 1 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.3.1.3.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x - 1 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.3.1.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$2 x - 1 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

ステップ 4.3.1.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$2 x - 1 = x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 4 x + 4 = 2 x - 1$

ステップ 5.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 4 x + 4 - 2 x = - 1$

ステップ 5.2.2

$- 4 x$ から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 6 x + 4 = - 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} - 6 x + 4 + 1 = 0$

ステップ 5.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$

ステップ 5.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 5$ を因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $- 6$ です。

$- 5, - 1$

ステップ 5.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x - 1) = 0$

ステップ 5.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5.7

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.7.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 5.8

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.8.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.8.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.9

最終解は $(x - 5) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, 1$

ステップ 6

$x + 3 = \sqrt{2 x - 1} + 5$ が真にならない解を除外します。

$x = 5$

ステップ 7

代数 例

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