代数例

$2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$2 u^{2} - 9 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ で和が $b = - 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$- 9$ を $- 9 u$ で因数分解します。

$2 u^{2} - 9 u + 4 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 9$ を $- 1$ プラス $- 8$ に書き換える

$2 u^{2} + (- 1 - 8) u + 4 = 0$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 u^{2} - 1 u) - 8 u + 4 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0$

ステップ 2.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u - 1) (u - 4) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u - 1 = 0$

$u - 4 = 0$

ステップ 4

$2 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.1

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 4.2

$u$ について $2 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 4.2.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 5

$u - 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.1

$u - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u - 4 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u = 4$

ステップ 6

最終解は $(2 u - 1) (u - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{2}, 4$

ステップ 7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

ステップ 8

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 9.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 9.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 9.2.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 9.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 9.2.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 9.2.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 9.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 9.2.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 9.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 9.2.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = 4$

ステップ 11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 4$

ステップ 11.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 11.3

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 11.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 11.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 11.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 11.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 12

$2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0$ の解は $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$ です。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$

10進法形式：

$x = 0.70710678 \dots, - 0.70710678 \dots, 2, - 2$

ステップ 14

代数 例

代数例