代数例

$F (X) = x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$

ステップ 1

$x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 3 x$ を $- 3 x^{3} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 3 x$ を $- 3 x^{3}$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 3 x$ を $3 x$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 3 x$ を $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ で因数分解します。

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

ステップ 2.1.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 10 = 0$

ステップ 2.1.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 11 u + 10 = 0$

ステップ 2.1.7

たすき掛けを利用して $u^{2} - 11 u + 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $10$ で、その和が $- 11$ です。

$- 10, - 1$

ステップ 2.1.7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 10) (u - 1) = 0$

ステップ 2.1.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.9

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.10

因数分解。

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ステップ 2.1.10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.10.2

不要な括弧を削除します。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.11

$(x + 1) (x - 1)$ を $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.11.1

$(x + 1) (x - 1)$ を $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.11.2

$(x + 1) (x - 1)$ を $(x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10) = 0$

ステップ 2.1.11.3

$(x + 1) (x - 1)$ を $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 10) = 0$

ステップ 2.1.12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 u + u^{2} - 10) = 0$

ステップ 2.1.13

たすき掛けを利用して $- 3 u + u^{2} - 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.13.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 2.1.13.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) (x - 1) ((u - 5) (u + 2)) = 0$

ステップ 2.1.14

因数分解。

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ステップ 2.1.14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 1) (x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

ステップ 2.1.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.7

最終解は $(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1, 5, - 2$

ステップ 3

代数 例

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