代数例

$x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8$

ステップ 1

$x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{5} + x^{3}) + 8 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 2.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{3} (x^{2} + 1) + 8 (x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.1.2

最大公約数 $x^{2} + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x^{2} + 1) (x^{3} + 8) = 0$

ステップ 2.1.3

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 1) (x^{3} + 2^{3}) = 0$

ステップ 2.1.4

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x^{2} + 1) ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 2.1.5

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1

簡約します。

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ステップ 2.1.5.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{2} + 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x^{2} + 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

ステップ 2.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 1) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.3.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 2.4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.5

$x^{2} - 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.6

最終解は $(x^{2} + 1) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = i, - i, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 3

代数 例

代数例