代数例

$f (x) = x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$

ステップ 1

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{4} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

ステップ 2.1.2

$x^{2}$ を $x^{4} - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + x^{3} + x - 2 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + x^{3} + x - 2 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + x^{3} + x - 2 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

ステップ 2.1.5

有理根検定を用いて $x^{3} + x - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.5.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.5.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} + 1 - 2$

ステップ 2.1.5.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 + 1 - 2$

ステップ 2.1.5.3.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 2.1.5.3.4

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.5.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

ステップ 2.1.5.5

$x^{3} + x - 2$ を $x - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

ステップ 2.1.5.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.5.5.7

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.5.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.1.5.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} - x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.5.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

ステップ 2.1.5.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.5.12

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

ステップ 2.1.5.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

ステップ 2.1.5.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + x + 2$

ステップ 2.1.5.6

$x^{3} + x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.6

$x - 1$ を $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$x - 1$ を $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.6.2

$x - 1$ を $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ で因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.7

分配則を当てはめます。

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.8.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.9

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.10

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.11

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.1

因数分解した形で $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) ((x^{3} + 2 x^{2}) + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.11.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)) = 0$

ステップ 2.1.11.1.2

最大公約数 $x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.11.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.5

$x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.5.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 2, i, - i$

ステップ 3

代数 例

代数例