代数例

$f (x) = \log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$

ステップ 1

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$ が $0$ に等しいとします。

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{9} ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 3) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log_{9} (2 x (x - 2) + 3 (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

ステップ 2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\log_{9} (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

ステップ 2.1.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{9} (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

ステップ 2.1.3.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

ステップ 2.1.3.1.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6) = 0$

ステップ 2.1.3.2

$- 4 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$9^{0} = 2 x^{2} - x - 6$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式を $2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$ として書き換えます。

$2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$

ステップ 2.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$2 x^{2} - x - 6 = 1$

ステップ 2.3.3

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x^{2} - x - 6 - 1 = 0$

ステップ 2.3.3.2

$- 6$ から $1$ を引きます。

$2 x^{2} - x - 7 = 0$

ステップ 2.3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.5

$a = 2$ 、 $b = - 1$ 、および $c = - 7$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ を掛けます。

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ステップ 2.3.6.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.6.1.2.2

$- 8$ に $- 7$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.6.1.3

$1$ と $56$ をたし算します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

ステップ 2.3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}, \frac{1 - \sqrt{57}}{4}$

ステップ 2.4

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

10進法形式：

$x = 2.13745860 \dots$

ステップ 4

代数 例

代数例