代数例

$0 = x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16$

ステップ 1

方程式を $x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$ として書き換えます。

$x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

項を再分類します。

$- 3 x^{3} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

ステップ 2.2

$- 3 x$ を $- 3 x^{3} - 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3 x$ を $- 3 x^{3}$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

ステップ 2.2.2

$- 3 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot 8 + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

ステップ 2.2.3

$- 3 x$ を $- 3 x (x^{2}) - 3 x (8)$ で因数分解します。

$- 3 x (x^{2} + 8) + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

ステップ 2.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x^{2} + 8) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 16 = 0$

ステップ 2.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 3 x (x^{2} + 8) + u^{2} + 10 u + 16 = 0$

ステップ 2.5

たすき掛けを利用して $u^{2} + 10 u + 16$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $16$ で、その和が $10$ です。

$2, 8$

ステップ 2.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 3 x (x^{2} + 8) + (u + 2) (u + 8) = 0$

ステップ 2.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

ステップ 2.7

$x^{2} + 8$ を $- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ で因数分解します。

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ステップ 2.7.1

$x^{2} + 8$ を $- 3 x (x^{2} + 8)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

ステップ 2.7.2

$x^{2} + 8$ を $(x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.7.3

$x^{2} + 8$ を $(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 8) (- 3 x + x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} + 8) (- 3 u + u^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.9

たすき掛けを利用して $- 3 u + u^{2} + 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 2.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} + 8) ((u - 2) (u - 1)) = 0$

ステップ 2.10

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} + 8) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 8 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 4

$x^{2} + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{2} + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 8 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} + 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{2} = - 8$

ステップ 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

ステップ 4.2.3

$\pm \sqrt{- 8}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

ステップ 4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

ステップ 4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

ステップ 4.2.3.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

ステップ 4.2.3.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.2.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

ステップ 4.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

ステップ 4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i \sqrt{2}$

ステップ 4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7

最終解は $(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}, 2, 1$

ステップ 8

代数 例

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