代数例

$x + 4 < \frac{5}{x}$

ステップ 1

両辺に $x$ を掛けます。

$(x + 4) x = \frac{5}{x} x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$(x + 4) x$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + 4 x = \frac{5}{x} x$

ステップ 2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} + 4 x = 5$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$

ステップ 3.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 5$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $4$ です。

$- 1, 5$

ステップ 3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) (x + 5) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 3.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 3.6

最終解は $(x - 1) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 5$

ステップ 4

$x + 4 - \frac{5}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{5}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$(- 8) + 4 < \frac{5}{- 8}$

ステップ 6.1.3

左辺 $- 4$ は右辺 $- 0.625$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.2

区間 $- 5 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- 5 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$(- 2) + 4 < \frac{5}{- 2}$

ステップ 6.2.3

左辺 $2$ は右辺 $- 2.5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.3

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$(0.5) + 4 < \frac{5}{0.5}$

ステップ 6.3.3

左辺 $4.5$ は右辺 $10$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.4

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.4.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$(4) + 4 < \frac{5}{4}$

ステップ 6.4.3

左辺 $8$ は右辺 $1.25$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $0 < x < 1$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 5 or 0 < x < 1$

区間記号：

$(- \infty, - 5) \cup (0, 1)$

ステップ 9

代数 例

代数例