代数例

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 1

各項に $1$ の因数を掛け、すべての分母を等しくします。ここでは、すべての項に $2$ の分母が必要です。

$\cos^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2

式に $1$ の因数を掛け、 $2$ の最小公分母を求めます。

$\cos^{2} (θ) \cdot 2$

ステップ 3

$2$ を $\cos^{2} (θ)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 4

$\cos^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ を $2$ で割ります。

$\cos^{2} (θ) \cdot 1 = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$\cos^{2} (θ)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 6

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 6.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 6.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 6.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 6.4.6.5

指数を求めます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$θ = \frac{π}{4}$

ステップ 9.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 9.4

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 9.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 9.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 9.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 9.4.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{7 π}{4}$

ステップ 9.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 9.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 10.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$θ = \frac{3 π}{4}$

ステップ 10.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 10.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 10.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 10.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 10.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 10.4.3.2

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$θ = \frac{5 π}{4}$

ステップ 10.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

すべての解をまとめます。

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

答えをまとめます。

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

代数 例

代数例