代数例

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

ステップ 1

与えられた関数の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

$[- 7, \infty)$

ステップ 1.2

$[- 7, \infty)$ を不等式に変換します。

$y \geq - 7$

ステップ 2

逆を求めます。

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ステップ 2.1

変数を入れ替えます。

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

ステップ 2.2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式を $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ として書き換えます。

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

ステップ 2.2.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.2.4

$a = 2$ 、 $b = - 8$ 、および $c = 1 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.5

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.6

$64$ から $8$ を引きます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.7

$8$ を $56 + 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.7.1

$8$ を $56$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.7.2

$8$ を $8 \cdot 7 + 8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.8

$8 (7 + x)$ を $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

ステップ 2.2.5.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ を簡約します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

ステップ 2.2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.6.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.5

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.6

$64$ から $8$ を引きます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.7

$8$ を $56 + 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1.7.1

$8$ を $56$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.7.2

$8$ を $8 \cdot 7 + 8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.8

$8 (7 + x)$ を $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

ステップ 2.2.6.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ を簡約します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

ステップ 2.2.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

ステップ 2.2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.2.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.5

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.6

$64$ から $8$ を引きます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.7

$8$ を $56 + 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1.7.1

$8$ を $56$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.7.2

$8$ を $8 \cdot 7 + 8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.8

$8 (7 + x)$ を $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

ステップ 2.2.7.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ を簡約します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

ステップ 2.2.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

ステップ 2.2.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

ステップ 2.3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

ステップ 3

定義域と元の関数の値域を利用して逆を求めます。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

ステップ 4

代数 例

代数例