代数例

$\frac{2}{x + 1} \leq \frac{3}{x - 1}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{3}{x - 1}$ を引きます。

$\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x - 1} \leq 0$

ステップ 2

$\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x - 1}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \leq 0$

ステップ 2.2

$- \frac{3}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 1) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{2}{x + 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{3}{x - 1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} \leq 0$

ステップ 2.3.3

$(x - 1) (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (x - 1) - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x - 2 - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x - 2 - 3 x - 3}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.5

$2 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{- x - 2 - 3}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.6

$- 2$ から $3$ を引きます。

$\frac{- x - 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) - 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.7

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.9

$- (x + 5)$ を $- 1 (x + 5)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 5$

$x = - 1$

$x = 1$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = - 5, - 1, 1$

ステップ 9

$- \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 9.2

$x$ について解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 9.2.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 9.2.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 9.2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 9.2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 9.2.4

最終解は $(x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{2}{(- 8) + 1} \leq \frac{3}{(- 8) - 1}$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 0.\overline{285714}$ は右辺 $- 0.\overline{3}$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.2

区間 $- 5 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 5 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$\frac{2}{(- 3) + 1} \leq \frac{3}{(- 3) - 1}$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $- 0.75$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.3

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{2}{(0) + 1} \leq \frac{3}{(0) - 1}$

ステップ 11.3.3

左辺 $2$ は右辺 $- 3$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.4

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{3}{(4) - 1}$

ステップ 11.4.3

左辺 $0.4$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$- 5 \leq x < - 1$ または $x > 1$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 5 \leq x < - 1 or x > 1$

区間記号：

$[- 5, - 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 14

代数 例

代数例