代数例

$\frac{5 r}{r^{2} - 9} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 r}{r^{2} - 3^{2}} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

ステップ 1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 3^{2}}$

ステップ 1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 r = 2 \cdot r \cdot 3$

ステップ 1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 3 + 3^{2}}$

ステップ 1.2.4

$a = r$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

ステップ 2

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{r - 3}{r - 3}$ を掛けます。

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

ステップ 3

$- \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{r + 3}{r + 3}$ を掛けます。

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ に $\frac{r - 3}{r - 3}$ をかけます。

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) (r - 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

ステップ 4.2

$r - 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} (r - 3))} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

ステップ 4.3

$r - 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} {(r - 3)}^{1})} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{1 + 1}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

ステップ 4.6

$\frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ に $\frac{r + 3}{r + 3}$ をかけます。

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 4.7

$(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5 r (r - 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 r (r - 3) - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 r \cdot r + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.2

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

$r$ を移動させます。

$\frac{5 (r \cdot r) + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.2.2

$r$ に $r$ をかけます。

$\frac{5 r^{2} + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.3

$- 3$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- (4 r) - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.7

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 r - 1) (r + 3)$ を展開します。

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ステップ 6.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r (r + 3) - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.8.1.1

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

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ステップ 6.8.1.1.1

$r$ を移動させます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 (r \cdot r) - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.8.1.1.2

$r$ に $r$ をかけます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.8.1.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.8.1.3

$- 1 r$ を $- r$ に書き換えます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.8.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.8.2

$- 12 r$ から $r$ を引きます。

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.9

$5 r^{2}$ から $4 r^{2}$ を引きます。

$\frac{r^{2} - 15 r - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

ステップ 6.10

$- 15 r$ から $13 r$ を引きます。

$\frac{r^{2} - 28 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

代数 例

代数例