代数例

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $3$ です。

$1, 2$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

ステップ 3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

ステップ 3.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$x - 1$ を $(x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 1) (x - 1)}$

ステップ 4.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 1) (x - 1)}$

ステップ 4.1.4

式を書き換えます。

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

ステップ 4.2

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x + 2$ を $(x + 1) (x + 2)$ で因数分解します。

$\frac{x + 1}{(x + 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x + 1}{(x + 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$

ステップ 4.3

$\frac{x + 1}{x + 1}$ に $\frac{1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x - 1}$

代数 例

代数例