代数例

$x^{3} - 2 x^{2} > 15 x$

ステップ 1

不等式の両辺から $15 x$ を引きます。

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x > 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

ステップ 3.1.2

$x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 15 x = 0$

ステップ 3.1.3

$x$ を $- 15 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

ステップ 3.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

ステップ 3.1.5

$x$ を $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

ステップ 3.2

因数分解。

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ステップ 3.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((x - 5) (x + 3)) = 0$

ステップ 3.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 5) (x + 3) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 7

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 8

最終解は $x (x - 5) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5, - 3$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{3} - 2 {(- 6)}^{2} > 15 (- 6)$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 288$ は右辺 $- 90$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $- 3 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 3 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} > 15 (- 2)$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 16$ は右辺 $- 30$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $0 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $0 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} > 15 (2)$

ステップ 10.3.3

左辺 $0$ は右辺 $30$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

${(8)}^{3} - 2 {(8)}^{2} > 15 (8)$

ステップ 10.4.3

左辺 $384$ は右辺 $120$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 < x < 0$ または $x > 5$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 3 < x < 0 or x > 5$

区間記号：

$(- 3, 0) \cup (5, \infty)$

ステップ 13

代数 例

代数例