代数例

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 6

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 4$ を因数分解します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $5$ です。

$1, 4$

ステップ 6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) (x + 4) = 0$

ステップ 7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 8

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 9

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 10

最終解は $(x + 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 4$

ステップ 11

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1, - 1$

$x = - 1, - 4$

ステップ 12

解をまとめます。

$x = 1, - 1, - 1, - 4$

ステップ 13

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

ステップ 13.2

$x$ について解きます。

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ステップ 13.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 4$ を因数分解します。

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ステップ 13.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $5$ です。

$1, 4$

ステップ 13.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) (x + 4) = 0$

ステップ 13.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 13.2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 13.2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 13.2.4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.2.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 13.2.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 13.2.5

最終解は $(x + 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 4$

ステップ 13.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 14

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 15

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 15.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 15.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{{(- 6)}^{2} + 5 (- 6) + 4} \leq 0$

ステップ 15.1.3

左辺 $3.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 15.2

区間 $- 4 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.2.1

区間 $- 4 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 15.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{{(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 4} \leq 0$

ステップ 15.2.3

左辺 $- 1.5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 15.3

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.3.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 15.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4} \leq 0$

ステップ 15.3.3

左辺 $- 0.25$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 15.4

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.4.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 15.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{{(4)}^{2} + 5 (4) + 4} \leq 0$

ステップ 15.4.3

左辺 $0.375$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 15.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 16

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 < x < - 1$ または $- 1 < x \leq 1$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 4 < x < - 1 or - 1 < x \leq 1$

区間記号：

$(- 4, - 1) \cup (- 1, 1]$

ステップ 18

代数 例

代数例