代数例

$\frac{2 x^{2} + 13 x + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 1

群による因数分解。

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ステップ 1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ で和が $b = 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$13$ を $13 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 13 (x) + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 1.1.2

$13$ を $3$ プラス $10$ に書き換える

$\frac{2 x^{2} + (3 + 10) x + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 10 x + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 x^{2} + 3 x) + 10 x + 15}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3)}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 1.3

最大公約数 $2 x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{{(2 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 (x) - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 3.1.2

$3$ を $- 3$ プラス $6$ に書き換える

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 3 + 6) x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x + 6 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 3 x) + 6 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{x (2 x - 3) + 3 (2 x - 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 3.3

最大公約数 $2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(2 x + 3) (x + 5)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$x + 5$ を $(2 x + 3) (x + 5)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

ステップ 5.1.2

$x + 5$ を $(x - 3) (x + 5)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

ステップ 5.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 5) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

ステップ 5.1.4

式を書き換えます。

$\frac{2 x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

ステップ 5.2

$2 x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2 x - 3$ を $(2 x + 3) (2 x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 x + 3}{(2 x - 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x + 3}{(2 x - 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

ステップ 5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x + 3}{2 x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 3}$

ステップ 5.3

$\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ に $\frac{x + 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{(2 x + 3) (x + 3)}{(2 x + 3) (x - 3)}$

ステップ 5.4

$2 x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x + 3) (x + 3)}{(2 x + 3) (x - 3)}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 3}{x - 3}$

代数 例

代数例