代数例

$\tan (θ) > 0$ , $\cos (θ) < 0$

ステップ 1

$θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ > \arctan (0)$

ステップ 1.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ > 0$

ステップ 1.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$θ = π + 0$

ステップ 1.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$θ = π$

ステップ 1.5

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 1.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 1.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 1.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.6

$\tan (θ)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.7

答えをまとめます。

$θ = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.8

$\tan (θ)$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.8.1

$\tan (θ)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$θ = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.8.2

定義域は式が定義になる $θ$ のすべての値です。

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 1.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < θ < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < θ < π$

ステップ 1.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 1.10.1

区間 $0 < θ < \frac{π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.10.1.1

区間 $0 < θ < \frac{π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$θ = 1$

ステップ 1.10.1.2

$θ$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\tan (1) > 0$

ステップ 1.10.1.3

左辺 $1.55740772$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 1.10.2

区間 $\frac{π}{2} < θ < π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.10.2.1

区間 $\frac{π}{2} < θ < π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$θ = 2$

ステップ 1.10.2.2

$θ$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\tan (2) > 0$

ステップ 1.10.2.3

左辺 $- 2.18503986$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 1.10.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < θ < \frac{π}{2}$ 真

$\frac{π}{2} < θ < π$ 偽

$0 < θ < \frac{π}{2}$ 真

$\frac{π}{2} < θ < π$ 偽

ステップ 1.11

解はすべての真の区間からなります。

$0 + π n < θ < \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

$θ$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ < \arccos (0)$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$θ < \frac{π}{2}$

ステップ 2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.7

答えをまとめます。

$θ = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.8

定義域は式が定義になる $θ$ のすべての値です。

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 2.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

ステップ 2.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.10.1

区間 $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.10.1.1

区間 $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$θ = 3$

ステップ 2.10.1.2

$θ$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\cos (3) < 0$

ステップ 2.10.1.3

左辺 $- 0.98999249$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.10.2

区間 $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1

区間 $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$θ = 6$

ステップ 2.10.2.2

$θ$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\cos (6) < 0$

ステップ 2.10.2.3

左辺 $0.96017028$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.10.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ 真

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ 偽

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ 真

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ 偽

ステップ 2.11

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

各グラフを同座標に描きます。

$\tan (θ) > 0$

$\cos (θ) < 0$

ステップ 4

代数 例

代数例