代数例

$9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y - 1 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$

ステップ 1.2

$9 y^{2} - 108 y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 108$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 108}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 108$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 108$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 (9)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 54}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 54$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$9$ を $- 54$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 6}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 6$ を $1$ で割ります。

$d = - 6$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 108)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 108$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{11664}{36}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$11664$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 324$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $324$ をかけます。

$e = 0 - 324$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $324$ を引きます。

$e = - 324$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(y - 6)}^{2} - 324$ に代入します。

$9 {(y - 6)}^{2} - 324$

ステップ 1.3

$9 {(y - 6)}^{2} - 324$ を方程式 $9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$ の中の $9 y^{2} - 108 y$ に代入します。

$9 {(y - 6)}^{2} - 324 - 25 x^{2} - 100 x = 1$

ステップ 1.4

両辺に $324$ を加えて、 $- 324$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 x^{2} - 100 x = 1 + 324$

ステップ 1.5

$- 25 x^{2} - 100 x$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 25$

$b = - 100$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 100}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$- 100$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $- 100$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 25$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (- 25)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 50}{- 25}$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 50$ と $- 25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$- 25$ を $- 50$ で因数分解します。

$d = \frac{- 25 (2)}{- 25}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$- 25$ を $- 25$ で因数分解します。

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 100$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $- 25$ をかけます。

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$10000$ を $- 100$ で割ります。

$e = 0 - - 100$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 100$ をかけます。

$e = 0 + 100$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ と $100$ をたし算します。

$e = 100$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ に代入します。

$- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$

ステップ 1.6

$- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ を方程式 $9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$ の中の $- 25 x^{2} - 100 x$ に代入します。

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} + 100 = 1 + 324$

ステップ 1.7

両辺に $100$ を加えて、 $100$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 1 + 324 - 100$

ステップ 1.8

$1 + 324 - 100$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$1$ と $324$ をたし算します。

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 325 - 100$

ステップ 1.8.2

$325$ から $100$ を引きます。

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 225$

ステップ 1.9

各項を $225$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{9 {(y - 6)}^{2}}{225} - \frac{25 {(x + 2)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{25} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 5$

$b = 3$

$k = 6$

$h = - 2$

ステップ 4

対頂点を求めます。

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ステップ 4.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 4.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, 11)$

ステップ 4.3

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 4.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, 1)$

ステップ 4.5

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(- 2, 11), (- 2, 1)$

ステップ 5

代数 例

代数例