代数例

$x^{13} - 2 x^{12} - x^{11} + 2 x^{10} = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{10}$ を $x^{13} - 2 x^{12} - x^{11} + 2 x^{10}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{10}$ を $x^{13}$ で因数分解します。

$x^{10} x^{3} - 2 x^{12} - x^{11} + 2 x^{10} = 0$

ステップ 1.1.2

$x^{10}$ を $- 2 x^{12}$ で因数分解します。

$x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2}) - x^{11} + 2 x^{10} = 0$

ステップ 1.1.3

$x^{10}$ を $- x^{11}$ で因数分解します。

$x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2}) + x^{10} (- x) + 2 x^{10} = 0$

ステップ 1.1.4

$x^{10}$ を $2 x^{10}$ で因数分解します。

$x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2}) + x^{10} (- x) + x^{10} \cdot 2 = 0$

ステップ 1.1.5

$x^{10}$ を $x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2})$ で因数分解します。

$x^{10} (x^{3} - 2 x^{2}) + x^{10} (- x) + x^{10} \cdot 2 = 0$

ステップ 1.1.6

$x^{10}$ を $x^{10} (x^{3} - 2 x^{2}) + x^{10} (- x)$ で因数分解します。

$x^{10} (x^{3} - 2 x^{2} - x) + x^{10} \cdot 2 = 0$

ステップ 1.1.7

$x^{10}$ を $x^{10} (x^{3} - 2 x^{2} - x) + x^{10} \cdot 2$ で因数分解します。

$x^{10} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) = 0$

ステップ 1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x^{10} ((x^{3} - 2 x^{2}) - x + 2) = 0$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{10} (x^{2} (x - 2) - (x - 2)) = 0$

ステップ 1.3

最大公約数 $x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x^{10} ((x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 1.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{10} ((x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

ステップ 1.5

因数分解。

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ステップ 1.5.1

因数分解。

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ステップ 1.5.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$x^{10} ((x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

ステップ 1.5.1.2

不要な括弧を削除します。

$x^{10} ((x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 1.5.2

不要な括弧を削除します。

$x^{10} (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{10} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 3

$x^{10}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x^{10}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{10} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{10} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[10]{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt[10]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{10}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[10]{0^{10}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7

最終解は $x^{10} (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 1, 1$

代数 例

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