代数例

$\sqrt{2} \cdot x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = \sqrt{2}$ 、 $b = 7$ 、および $c = 5 \sqrt{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2}))}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.2

$5$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.3

$- 20 \sqrt{2} \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.4.5

指数を求めます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.5

$- 20$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.6

$49$ から $40$ を引きます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.7

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.2

$\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 3.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 3.3.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 3.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.3.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.7.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.7.5

指数を求めます。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.5

$- 1$ を $- 7 \pm 3$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (- (- 7 \pm 3)) \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{1 (- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.7

$- 7 \pm 3$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.8

$\frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ の因数を並べ替えます。

$x = \frac{\sqrt{2} (- 7 \pm 3)}{4}$

ステップ 4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

10進法形式：

$x = - 1.41421356 \dots, - 3.53553390 \dots$

代数 例

代数例