代数例

What is the inverse of $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ を方程式で書きます。

$y = x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{2} - 6 y + 9$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{2} - 6 y + 9 = x$ として書き換えます。

$y^{2} - 6 y + 9 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y^{2} - 6 y + 9 - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 9 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (9 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (9 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (9 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.4

$- 4$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.6

$36$ から $36$ を引きます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{0 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.7

$0$ と $4 x$ をたし算します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.8

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$ を簡約します。

$y = 3 \pm \sqrt{x}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (9 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (9 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$- 4$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6

$36$ から $36$ を引きます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{0 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7

$0$ と $4 x$ をたし算します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.8

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.6.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$ を簡約します。

$y = 3 \pm \sqrt{x}$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 3 + \sqrt{x}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (9 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (9 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.4

$- 4$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.6

$36$ から $36$ を引きます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{0 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.7

$0$ と $4 x$ をたし算します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.8

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.7.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$ を簡約します。

$y = 3 \pm \sqrt{x}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 3 - \sqrt{x}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 3 + \sqrt{x}$

$y = 3 - \sqrt{x}$

$y = 3 + \sqrt{x}$

$y = 3 - \sqrt{x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{x}, 3 - \sqrt{x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{x}, 3 - \sqrt{x}$ が $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ の値域、 $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{x}, 3 - \sqrt{x}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

ステップ 5.3

$3 + \sqrt{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 5.3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{x}, 3 - \sqrt{x}$ の定義域が $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{x}, 3 - \sqrt{x}$ の範囲が $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{x}, 3 - \sqrt{x}$ は $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{x}, 3 - \sqrt{x}$

ステップ 6

代数 例

代数例