代数例

$6 x^{2} - x - 12 \geq - 10$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$6 x^{2} - x - 12 = - 10$

ステップ 2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$6 x^{2} - x - 12 + 10 = 0$

ステップ 3

$- 12$ と $10$ をたし算します。

$6 x^{2} - x - 2 = 0$

ステップ 4

群による因数分解。

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ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 6 \cdot - 2 = - 12$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$6 x^{2} - (x) - 2 = 0$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $3$ プラス $- 4$ に書き換える

$6 x^{2} + (3 - 4) x - 2 = 0$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 = 0$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(6 x^{2} + 3 x) - 4 x - 2 = 0$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = 0$

ステップ 4.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

ステップ 6

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 6.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 7

$3 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $3 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 7.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 8

最終解は $(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$6 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12 \geq - 10$

ステップ 10.1.3

左辺 $45$ は右辺 $- 10$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.2

区間 $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$6 {(0)}^{2} - (0) - 12 \geq - 10$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 12$ は右辺 $- 10$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.3

区間 $x > \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$6 {(3)}^{2} - (3) - 12 \geq - 10$

ステップ 10.3.3

左辺 $39$ は右辺 $- 10$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{1}{2}$ 真

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ 偽

$x > \frac{2}{3}$ 真

$x < - \frac{1}{2}$ 真

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ 偽

$x > \frac{2}{3}$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - \frac{1}{2}$ または $x \geq \frac{2}{3}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - \frac{1}{2} or x \geq \frac{2}{3}$

区間記号：

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$

ステップ 13

代数 例

代数例