代数例

$\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)} \geq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 4

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 1$

$x = 4$

$x = - 8$

ステップ 6

解をまとめます。

$x = - 1, 4, - 8$

ステップ 7

$\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 7.1

$\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x - 4) (x + 8) = 0$

ステップ 7.2

$x$ について解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 7.2.2

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 7.2.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 7.2.3

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.3.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 7.2.3.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 7.2.4

最終解は $(x - 4) (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 8$

ステップ 7.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\frac{(- 10) + 1}{((- 10) - 4) ((- 10) + 8)} \geq 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 0.32142857$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.2

区間 $- 8 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 8 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{(- 4) + 1}{((- 4) - 4) ((- 4) + 8)} \geq 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $0.09375$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.3

区間 $- 1 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $- 1 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 1}{((0) - 4) ((0) + 8)} \geq 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 0.03125$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{(6) + 1}{((6) - 4) ((6) + 8)} \geq 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $0.25$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$- 8 < x \leq - 1$ または $x > 4$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 8 < x \leq - 1 or x > 4$

区間記号：

$(- 8, - 1] \cup (4, \infty)$

ステップ 12

代数 例

代数例