代数例

$- 2 x^{2} + 24 x > - 4 x + 96$

ステップ 1

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺に $4 x$ を足します。

$- 2 x^{2} + 24 x + 4 x > 96$

ステップ 1.2

$24 x$ と $4 x$ をたし算します。

$- 2 x^{2} + 28 x > 96$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$- 2 x^{2} + 28 x = 96$

ステップ 3

方程式の両辺から $96$ を引きます。

$- 2 x^{2} + 28 x - 96 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

$- 2$ を $- 2 x^{2} + 28 x - 96$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$- 2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} + 28 x - 96 = 0$

ステップ 4.1.2

$- 2$ を $28 x$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} - 2 (- 14 x) - 96 = 0$

ステップ 4.1.3

$- 2$ を $- 96$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} - 2 (- 14 x) - 2 \cdot 48 = 0$

ステップ 4.1.4

$- 2$ を $- 2 (x^{2}) - 2 (- 14 x)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{2} - 14 x) - 2 \cdot 48 = 0$

ステップ 4.1.5

$- 2$ を $- 2 (x^{2} - 14 x) - 2 (48)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{2} - 14 x + 48) = 0$

ステップ 4.2

因数分解。

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ステップ 4.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 14 x + 48$ を因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $48$ で、その和が $- 14$ です。

$- 8, - 6$

ステップ 4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 2 ((x - 8) (x - 6)) = 0$

ステップ 4.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 2 (x - 8) (x - 6) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 8 = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 6

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 7

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 8

最終解は $- 2 (x - 8) (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 8, 6$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 6$

$6 < x < 8$

$x > 8$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- 2 {(0)}^{2} + 24 (0) > - 4 \cdot 0 + 96$

ステップ 10.1.3

左辺 $0$ は右辺 $96$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $6 < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $6 < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 7$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $7$ で置き換えます。

$- 2 {(7)}^{2} + 24 (7) > - 4 \cdot 7 + 96$

ステップ 10.2.3

左辺 $70$ は右辺 $68$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$- 2 {(10)}^{2} + 24 (10) > - 4 \cdot 10 + 96$

ステップ 10.3.3

左辺 $40$ は右辺 $56$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 6$ 偽

$6 < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

$x < 6$ 偽

$6 < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$6 < x < 8$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$6 < x < 8$

区間記号：

$(6, 8)$

ステップ 13

代数 例

代数例