代数例

$- 2 y^{2} + x - 20 y - 49 = 0$

ステップ 1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $2 y^{2}$ を足します。

$x - 20 y - 49 = 2 y^{2}$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $20 y$ を足します。

$x - 49 = 2 y^{2} + 20 y$

ステップ 1.3

方程式の両辺に $49$ を足します。

$x = 2 y^{2} + 20 y + 49$

ステップ 2

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2 y^{2} + 20 y + 49$ の平方完成。

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ステップ 2.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 20$

$c = 49$

ステップ 2.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{20}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1

$20$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1.1

$2$ を $20$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (2)}$

ステップ 2.1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{10}{2}$

ステップ 2.1.1.3.2.2

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2}$

ステップ 2.1.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

ステップ 2.1.1.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.1.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{5}{1}$

ステップ 2.1.1.3.2.2.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$d = 5$

ステップ 2.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 49 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.4.2.1.1

$20$ を $2$ 乗します。

$e = 49 - \frac{400}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 49 - \frac{400}{8}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.3

$400$ を $8$ で割ります。

$e = 49 - 1 \cdot 50$

ステップ 2.1.1.4.2.1.4

$- 1$ に $50$ をかけます。

$e = 49 - 50$

ステップ 2.1.1.4.2.2

$49$ から $50$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 2.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(y + 5)}^{2} - 1$ に代入します。

$2 {(y + 5)}^{2} - 1$

ステップ 2.1.2

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

ステップ 2.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

ステップ 2.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 2.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 1, - 5)$

ステップ 2.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 2.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 2.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.5.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8}$

ステップ 2.6

焦点を求めます。

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ステップ 2.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 2.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{7}{8}, - 5)$

ステップ 2.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = - 5$

ステップ 2.8

準線を求めます。

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ステップ 2.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 2.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{9}{8}$

ステップ 2.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- 1, - 5)$

焦点： $(- \frac{7}{8}, - 5)$

対称軸： $y = - 5$

準線： $x = - \frac{9}{8}$

方向：右に開

頂点： $(- 1, - 5)$

焦点： $(- \frac{7}{8}, - 5)$

対称軸： $y = - 5$

準線： $x = - \frac{9}{8}$

ステップ 3

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 3.1

$x$ 値の $0$ を $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(0, - 5.70710678)$ です。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.1.2.2

最終的な答えは $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ です。

$y = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.1.3

$- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ を10進数に変換します。

$= - 5.70710678$

ステップ 3.2

$x$ 値の $0$ を $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(0, - 4.29289321)$ です。

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ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.2.2

最終的な答えは $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ です。

$y = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.3

$- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ を10進数に変換します。

$= - 4.29289321$

ステップ 3.3

$x$ 値の $1$ を $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(1, - 6)$ です。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{4}}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

ステップ 3.3.2.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (1) = - \frac{10 + 2}{2}$

ステップ 3.3.2.1.5

$10$ と $2$ をたし算します。

$f (1) = - \frac{12}{2}$

ステップ 3.3.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$12$ を $2$ で割ります。

$f (1) = - 1 \cdot 6$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f (1) = - 6$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$y = - 6$

ステップ 3.3.3

$- 6$ を10進数に変換します。

$= - 6$

ステップ 3.4

$x$ 値の $1$ を $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(1, - 4)$ です。

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ステップ 3.4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

ステップ 3.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{4}}{2}$

ステップ 3.4.2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

ステップ 3.4.2.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (1) = - \frac{10 - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.4.2.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (1) = - \frac{10 - 2}{2}$

ステップ 3.4.2.1.6

$10$ から $2$ を引きます。

$f (1) = - \frac{8}{2}$

ステップ 3.4.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$8$ を $2$ で割ります。

$f (1) = - 1 \cdot 4$

ステップ 3.4.2.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (1) = - 4$

ステップ 3.4.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 3.4.3

$- 4$ を10進数に変換します。

$= - 4$

ステップ 3.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

ステップ 4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- 1, - 5)$

焦点： $(- \frac{7}{8}, - 5)$

対称軸： $y = - 5$

準線： $x = - \frac{9}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

ステップ 5

代数 例

代数例