代数例

$\sqrt{x - 3} \leq 7$

ステップ 1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x - 3}}^{2} \leq 7^{2}$

ステップ 2

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 3}$ を ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 3)}^{1} \leq 7^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$x - 3 \leq 7^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x - 3 \leq 49$

ステップ 3

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

不等式の両辺に $3$ を足します。

$x \leq 49 + 3$

ステップ 3.2

$49$ と $3$ をたし算します。

$x \leq 52$

ステップ 4

$\sqrt{x - 3} - 7$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\sqrt{x - 3}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x - 3 \geq 0$

ステップ 4.2

不等式の両辺に $3$ を足します。

$x \geq 3$

ステップ 4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[3, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 3$

$3 < x < 52$

$x > 52$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt{(0) - 3} \leq 7$

ステップ 6.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.2

区間 $3 < x < 52$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $3 < x < 52$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\sqrt{(6) - 3} \leq 7$

ステップ 6.2.3

左辺 $1.7320508$ は右辺 $7$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.3

区間 $x > 52$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $x > 52$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 54$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $54$ で置き換えます。

$\sqrt{(54) - 3} \leq 7$

ステップ 6.3.3

左辺 $7.14142842$ は右辺 $7$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 3$ 偽

$3 < x < 52$ 真

$x > 52$ 偽

$x < 3$ 偽

$3 < x < 52$ 真

$x > 52$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$3 \leq x \leq 52$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$3 \leq x \leq 52$

区間記号：

$[3, 52]$

ステップ 9

代数 例

代数例