代数例

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \leq 4$

ステップ 1

不等式の両辺から ${(x - 1)}^{2}$ を引きます。

${(y + 2)}^{2} \leq 4 - {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{{(y + 2)}^{2}} \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| y + 2 | \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| y + 2 | \leq \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x - 1$ です。

$| y + 2 | \leq \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

ステップ 3.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

$2$ から $1$ を引きます。

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

ステップ 3.2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x - - 1)}$

ステップ 3.2.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

ステップ 3.2.1.3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

ステップ 4

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$y + 2 \geq 0$

ステップ 4.2

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$y \geq - 2$

ステップ 4.3

$y + 2$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

ステップ 4.4

$y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ の定義域を求め、 $y \geq - 2$ との交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

$\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

ステップ 4.4.1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1

$(x + 1) (- x + 3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (- x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.1.2.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.1.2.1.4

$- x$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.1.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.1.2.2

$3 x$ から $x$ を引きます。

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.2

不等式を方程式に変換します。

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

ステップ 4.4.1.2.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.3.1

$- 1$ を $- x^{2} + 2 x + 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.3.1.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

ステップ 4.4.1.2.3.1.2

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

ステップ 4.4.1.2.3.1.3

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 4.4.1.2.3.1.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 4.4.1.2.3.1.5

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

ステップ 4.4.1.2.3.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.3.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 4.4.1.2.3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

ステップ 4.4.1.2.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

ステップ 4.4.1.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4.4.1.2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.4.1.2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.4.1.2.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.4.1.2.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.4.1.2.7

最終解は $- (x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1$

ステップ 4.4.1.2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 4.4.1.2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.9.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.9.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 4.4.1.2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.9.1.3

左辺 $- 21$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.4.1.2.9.2

区間 $- 1 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.9.2.1

区間 $- 1 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 4.4.1.2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.9.2.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.4.1.2.9.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.9.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 4.4.1.2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

ステップ 4.4.1.2.9.3.3

左辺 $- 21$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.4.1.2.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 4.4.1.2.10

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 \leq x \leq 3$

ステップ 4.4.1.3

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

$[- 1, 3]$

ステップ 4.4.2

$y \geq - 2$ と $[- 1, 3]$ の交点を求めます。

$- 1 \leq y \leq 3$

ステップ 4.5

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$y + 2 < 0$

ステップ 4.6

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$y < - 2$

ステップ 4.7

$y + 2$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

ステップ 4.8

$- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ の定義域を求め、 $y < - 2$ との交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.1

$\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

ステップ 4.8.1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.1

$(x + 1) (- x + 3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (- x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.1.2.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.1.2.1.4

$- x$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.1.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.1.2.2

$3 x$ から $x$ を引きます。

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.2

不等式を方程式に変換します。

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

ステップ 4.8.1.2.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.3.1

$- 1$ を $- x^{2} + 2 x + 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.3.1.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

ステップ 4.8.1.2.3.1.2

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

ステップ 4.8.1.2.3.1.3

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 4.8.1.2.3.1.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 4.8.1.2.3.1.5

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

ステップ 4.8.1.2.3.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.3.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 4.8.1.2.3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

ステップ 4.8.1.2.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

ステップ 4.8.1.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4.8.1.2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.8.1.2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.8.1.2.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.8.1.2.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.8.1.2.7

最終解は $- (x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1$

ステップ 4.8.1.2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 4.8.1.2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.9.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.9.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 4.8.1.2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.9.1.3

左辺 $- 21$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.8.1.2.9.2

区間 $- 1 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.9.2.1

区間 $- 1 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 4.8.1.2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.9.2.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.8.1.2.9.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.9.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 4.8.1.2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

ステップ 4.8.1.2.9.3.3

左辺 $- 21$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.8.1.2.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 4.8.1.2.10

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 \leq x \leq 3$

ステップ 4.8.1.3

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

$[- 1, 3]$

ステップ 4.8.2

$y < - 2$ と $[- 1, 3]$ の交点を求めます。

$解がありません$

ステップ 4.9

区分で書きます。

${\begin{cases} y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} & - 1 \leq y \leq 3 \end{cases}$

ステップ 5

$- 1 \leq y \leq 3$ のとき、 $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$

ステップ 5.2

$y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$ と $- 1 \leq y \leq 3$ の交点を求めます。

$- 1 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

ステップ 6

解の和集合を求めます。

$- 1 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

ステップ 7

代数 例

代数例