代数例

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

ステップ 3

多項式を並べ替えます。

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

ステップ 4

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = - \sqrt{2}$ 、 $b = 1$ 、および $c = \sqrt{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.3

$4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.1.3.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.4.4.2

式を書き換えます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.4.5

指数を求めます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.5

$4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.6

$1$ と $8$ をたし算します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.7

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 7.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

ステップ 7.3

$\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ を簡約します。

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 7.4

$\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.5.1

$\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 7.5.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 7.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 7.5.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 7.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 7.5.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 7.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.5.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.5.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.5.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.7.4.1

共通因数を約分します。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.5.7.4.2

式を書き換えます。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.7.5

指数を求めます。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.6

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

ステップ 7.7

$\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ の因数を並べ替えます。

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 11

$\cos (x) = \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $\sqrt{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 12

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 12.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 12.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 12.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 12.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 12.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 12.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 12.4.3.2

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 12.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 12.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

代数例