代数例

$16 x^{4} + 31 x^{2} = 2$

ステップ 1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$16 x^{4} + 31 x^{2} - 2 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$16 {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 2 = 0$

ステップ 2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$16 u^{2} + 31 u - 2 = 0$

ステップ 2.3

群による因数分解。

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ステップ 2.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 16 \cdot - 2 = - 32$ で和が $b = 31$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$31$ を $31 u$ で因数分解します。

$16 u^{2} + 31 (u) - 2 = 0$

ステップ 2.3.1.2

$31$ を $- 1$ プラス $32$ に書き換える

$16 u^{2} + (- 1 + 32) u - 2 = 0$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$16 u^{2} - 1 u + 32 u - 2 = 0$

ステップ 2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(16 u^{2} - 1 u) + 32 u - 2 = 0$

ステップ 2.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (16 u - 1) + 2 (16 u - 1) = 0$

ステップ 2.3.3

最大公約数 $16 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(16 u - 1) (u + 2) = 0$

ステップ 2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(16 x^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.5

$16 x^{2}$ を ${(4 x)}^{2}$ に書き換えます。

$({(4 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$({(4 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4 x$ であり、 $b = 1$ です。

$(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 4

$4 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$4 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 x + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $4 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$4 x = - 1$

ステップ 4.2.2

$4 x = - 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$4 x = - 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{4}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{4}$

ステップ 5

$4 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$4 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $4 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 x = 1$

ステップ 5.2.2

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 6

$x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} = - 2$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 6.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 6.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 6.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 6.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 6.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 6.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 7

最終解は $(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

代数 例

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