代数例

$f (r) = 4 π r^{2}$

ステップ 1

$f (r) = 4 π r^{2}$ を方程式で書きます。

$y = 4 π r^{2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$r = 4 π y^{2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $4 π y^{2} = r$ として書き換えます。

$4 π y^{2} = r$

ステップ 3.2

$4 π y^{2} = r$ の各項を $4 π$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4 π y^{2} = r$ の各項を $4 π$ で割ります。

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

ステップ 3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

ステップ 3.2.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

ステップ 3.2.2.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{r}{4 π}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.1.1

$r$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

ステップ 3.4.1.2

$4 π$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

ステップ 3.4.1.3

分数 $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

ステップ 3.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

ステップ 3.4.3

$\sqrt{\frac{r}{π}}$ を $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

ステップ 3.4.4

$\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ に $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

ステップ 3.4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.5.1

$\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ に $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

ステップ 3.4.5.2

$\sqrt{π}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

ステップ 3.4.5.3

$\sqrt{π}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

ステップ 3.4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

ステップ 3.4.5.6

${\sqrt{π}}^{2}$ を $π$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{π}$ を $π^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.5.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

ステップ 3.4.5.6.5

簡約します。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

ステップ 3.4.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

ステップ 3.4.7

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

ステップ 5

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ が $f (r) = 4 π r^{2}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (r) = 4 π r^{2}$ の値域、 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (r) = 4 π r^{2}$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{r π}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$r π \geq 0$

ステップ 5.3.2

$r π \geq 0$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$r π \geq 0$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r \geq \frac{0}{π}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.1

$0$ を $π$ で割ります。

$r \geq 0$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $r$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 5.4

$f (r) = 4 π r^{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ の定義域が $f (r) = 4 π r^{2}$ の範囲で、 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ の範囲が $f (r) = 4 π r^{2}$ の定義域なので、 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ は $f (r) = 4 π r^{2}$ の逆です。

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

ステップ 6

代数 例

代数例