代数例

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

ステップ 1

親関数は、与えられた関数の種類の中で最も単純な形です。

$y = x^{2}$

ステップ 2

${(x + 2)}^{2} + 3$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$y = (x + 2) (x + 2) + 3$

ステップ 2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = x (x + 2) + 2 (x + 2) + 3$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + 3$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

ステップ 2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

ステップ 2.1.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

ステップ 2.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + 3$

ステップ 2.1.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$y = x^{2} + 4 x + 4 + 3$

ステップ 2.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$y = x^{2} + 4 x + 7$

ステップ 3

$y = x^{2}$ は $f (x) = x^{2}$ で、 $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ は $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ であるとします。

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

ステップ 4

記載されている変換は、 $f (x) = x^{2}$ から $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ です。

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

ステップ 5

$g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ の頂点の型を求めます。

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ステップ 5.1

$x^{2} + 4 x + 7$ の平方完成。

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ステップ 5.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 7$

ステップ 5.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

ステップ 5.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 5.1.3.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 5.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.4.2.1.1

$4^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.4.2.1.1.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.4.2.1.1.2.1

$4$ を $4 \cdot 1$ で因数分解します。

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 5.1.4.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$e = 7 - \frac{4}{1}$

ステップ 5.1.4.2.1.1.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = 7 - 1 \cdot 4$

ステップ 5.1.4.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 7 - 4$

ステップ 5.1.4.2.2

$7$ から $4$ を引きます。

$e = 3$

ステップ 5.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 2)}^{2} + 3$ に代入します。

${(x + 2)}^{2} + 3$

ステップ 5.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

ステップ 6

水平方向の偏移は $h$ の値に依ります。水平方向偏移は次のように記述されます。

$g (x) = f (x + h)$ - グラフを左の $h$ ユニットにシフトする。

$g (x) = f (x - h)$ - グラフを右の $h$ ユニットにシフトする。

水平偏移：左 $2$ 単位

ステップ 7

垂直偏移は $k$ の値に依ります。垂直偏移は次のように記述されます。

$g (x) = f (x) + k$ - グラフを上の $k$ ユニットにシフトする。

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

垂直偏移： $3$ 単位上

ステップ 8

$g (x) = - f (x)$ のとき、グラフはx軸について対称移動しています。

x軸に対して対称移動：なし

ステップ 9

$g (x) = f (- x)$ のとき、グラフはy軸について対称移動しています。

y軸に対して対称移動：なし

ステップ 10

圧縮と伸張は $a$ の値によります。

$a$ が $1$ より大きいとき：垂直伸長

$a$ が $0$ と $1$ の間にあるとき：垂直圧縮

垂直圧縮または垂直伸長：なし

ステップ 11

変換を比較し記載します。

親関数： $y = x^{2}$

水平偏移：左 $2$ 単位

垂直偏移： $3$ 単位上

x軸に対して対称移動：なし

y軸に対して対称移動：なし

垂直圧縮または垂直伸長：なし

ステップ 12

代数 例

代数例