代数例

$y = 2 x - x^{2} + 6$

ステップ 1

$2 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + 2 x + 6$

ステップ 2

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 2.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$- x^{2} + 2 x + 6$ の平方完成。

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ステップ 2.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 6$

ステップ 2.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.1.3.2.1.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{- 1}$

ステップ 2.1.1.3.2.1.3

$\frac{1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.1.1.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$d = - 1$

ステップ 2.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 6 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.4.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 6 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 6 - \frac{4}{- 4}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.3

$4$ を $- 4$ で割ります。

$e = 6 - - 1$

ステップ 2.1.1.4.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = 6 + 1$

ステップ 2.1.1.4.2.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$e = 7$

ステップ 2.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x - 1)}^{2} + 7$ に代入します。

$- {(x - 1)}^{2} + 7$

ステップ 2.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - {(x - 1)}^{2} + 7$

ステップ 2.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 7$

ステップ 2.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 2.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(1, 7)$

ステップ 2.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 2.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 2.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.5.3

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 2.6

焦点を求めます。

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ステップ 2.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 2.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(1, \frac{27}{4})$

ステップ 2.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.8

準線を求めます。

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ステップ 2.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 2.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{29}{4}$

ステップ 2.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(1, 7)$

焦点： $(1, \frac{27}{4})$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = \frac{29}{4}$

方向：下に開

頂点： $(1, 7)$

焦点： $(1, \frac{27}{4})$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = \frac{29}{4}$

ステップ 3

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - {(0)}^{2} + 2 (0) + 6$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 0 + 2 (0) + 6$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 2 (0) + 6$

ステップ 3.2.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 6$

ステップ 3.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 6$

ステップ 3.2.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$f (0) = 6$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 3.3

$x = 0$ における $y$ 値は $6$ です。

$y = 6$

ステップ 3.4

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 6$

ステップ 3.5

結果を簡約します。

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ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.5.1.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 6$

ステップ 3.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 2 (- 1) + 6$

ステップ 3.5.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 (- 1) + 6$

ステップ 3.5.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 + 2 (- 1) + 6$

ステップ 3.5.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 1 - 2 + 6$

ステップ 3.5.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f (- 1) = - 3 + 6$

ステップ 3.5.2.2

$- 3$ と $6$ をたし算します。

$f (- 1) = 3$

ステップ 3.5.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 3.6

$x = - 1$ における $y$ 値は $3$ です。

$y = 3$

ステップ 3.7

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2 (2) + 6$

ステップ 3.8

結果を簡約します。

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ステップ 3.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.8.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2 (2) + 6$

ステップ 3.8.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (2) = - 4 + 2 (2) + 6$

ステップ 3.8.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = - 4 + 4 + 6$

ステップ 3.8.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f (2) = 0 + 6$

ステップ 3.8.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$f (2) = 6$

ステップ 3.8.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 3.9

$x = 2$ における $y$ 値は $6$ です。

$y = 6$

ステップ 3.10

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3) + 6$

ステップ 3.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.11.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 2 (3) + 6$

ステップ 3.11.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (3) = - 9 + 2 (3) + 6$

ステップ 3.11.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f (3) = - 9 + 6 + 6$

ステップ 3.11.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1

$- 9$ と $6$ をたし算します。

$f (3) = - 3 + 6$

ステップ 3.11.2.2

$- 3$ と $6$ をたし算します。

$f (3) = 3$

ステップ 3.11.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 3.12

$x = 3$ における $y$ 値は $3$ です。

$y = 3$

ステップ 3.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 1 & 7 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{array}$

ステップ 4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(1, 7)$

焦点： $(1, \frac{27}{4})$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 1 & 7 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{array}$

ステップ 5

代数 例

代数例