代数例

$\tan (\frac{π}{12}) = \cot (x - \frac{π}{36})$

ステップ 1

方程式を $\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$ として書き換えます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$

ステップ 2

$\tan (\frac{π}{12})$ の厳密値は $2 - \sqrt{3}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

ステップ 2.2

角の差の公式を当てはめます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

ステップ 2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

ステップ 2.4

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

ステップ 2.5

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

ステップ 2.6

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

ステップ 2.7

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の分子と分母に $3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

ステップ 2.7.1.2

まとめる。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

ステップ 2.7.2

分配則を当てはめます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

ステップ 2.7.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

ステップ 2.7.3.2

共通因数を約分します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

ステップ 2.7.3.3

式を書き換えます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

ステップ 2.7.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

ステップ 2.7.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

ステップ 2.7.5.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.5.2.1

$3$ を $3 \cdot 1$ で因数分解します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

ステップ 2.7.5.2.2

共通因数を約分します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

ステップ 2.7.5.2.3

式を書き換えます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

ステップ 2.7.6

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ に $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

ステップ 2.7.7

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ に $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

ステップ 2.7.8

FOIL法を使って分母を展開します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.7.9

簡約します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.10.1

$3 - \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.10.2

$3 - \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

ステップ 2.7.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

ステップ 2.7.10.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

ステップ 2.7.11

${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ を $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ に書き換えます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.12

分配法則（FOIL法）を使って $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.12.1

分配則を当てはめます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.12.2

分配則を当てはめます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.12.3

分配則を当てはめます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.13

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.13.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.13.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.13.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.13.1.4

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.13.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.4.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.4.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.13.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.13.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

ステップ 2.7.13.1.5.5

指数を求めます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

ステップ 2.7.13.2

$9$ と $3$ をたし算します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 2.7.13.3

$- 3 \sqrt{3}$ から $3 \sqrt{3}$ を引きます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 2.7.14

$12 - 6 \sqrt{3}$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.14.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 2.7.14.2

$6$ を $- 6 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.14.3

$6$ を $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ で因数分解します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

ステップ 2.7.14.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.14.4.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

ステップ 2.7.14.4.2

共通因数を約分します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

ステップ 2.7.14.4.3

式を書き換えます。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

ステップ 2.7.14.4.4

$2 - \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 2 - \sqrt{3}$

ステップ 3

式の右辺を10進数に変換します。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 0.26794919$

ステップ 4

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x - \frac{π}{36} = arccot (0.26794919)$

ステップ 5

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$arccot (0.26794919)$ の値を求めます。

$x - \frac{π}{36} = \frac{5 π}{12}$

ステップ 6

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の両辺に $\frac{π}{36}$ を足します。

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π}{36}$

ステップ 6.2

$\frac{5 π}{12}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

ステップ 6.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\frac{5 π}{12}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$x = \frac{5 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

ステップ 6.3.2

$12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{5 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{36}$

ステップ 6.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$3$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{15 π + π}{36}$

ステップ 6.5.2

$15 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{16 π}{36}$

ステップ 6.6

$16$ と $36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$4$ を $16 π$ で因数分解します。

$x = \frac{4 (4 π)}{36}$

ステップ 6.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$x = \frac{4 (4 π)}{4 (9)}$

ステップ 6.6.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 9}$

ステップ 6.6.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4 π}{9}$

ステップ 7

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x - \frac{π}{36} = π + \frac{5 π}{12}$

ステップ 8

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$π + \frac{5 π}{12}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$x - \frac{π}{36} = π \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 π}{12}$

ステップ 8.1.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

$π$ と $\frac{12}{12}$ をまとめます。

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12}{12} + \frac{5 π}{12}$

ステップ 8.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12 + 5 π}{12}$

ステップ 8.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.1

$12$ を $π$ の左に移動させます。

$x - \frac{π}{36} = \frac{12 \cdot π + 5 π}{12}$

ステップ 8.1.3.2

$12 π$ と $5 π$ をたし算します。

$x - \frac{π}{36} = \frac{17 π}{12}$

ステップ 8.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{36}$ を足します。

$x = \frac{17 π}{12} + \frac{π}{36}$

ステップ 8.2.2

$\frac{17 π}{12}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = \frac{17 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

ステップ 8.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$\frac{17 π}{12}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$x = \frac{17 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

ステップ 8.2.3.2

$12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{17 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

ステップ 8.2.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{17 π \cdot 3 + π}{36}$

ステップ 8.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.5.1

$3$ に $17$ をかけます。

$x = \frac{51 π + π}{36}$

ステップ 8.2.5.2

$51 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{52 π}{36}$

ステップ 8.2.6

$52$ と $36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.6.1

$4$ を $52 π$ で因数分解します。

$x = \frac{4 (13 π)}{36}$

ステップ 8.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.6.2.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$x = \frac{4 (13 π)}{4 (9)}$

ステップ 8.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{4 (13 π)}{4 \cdot 9}$

ステップ 8.2.6.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{13 π}{9}$

ステップ 9

$\cot (x - \frac{π}{36})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 9.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 9.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 9.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 10

$\cot (x - \frac{π}{36})$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{4 π}{9} + π n, \frac{13 π}{9} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

答えをまとめます。

$x = \frac{4 π}{9} + π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

代数例