代数例

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} \leq 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$- x^{2}$ を $- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$- x^{2}$ を $- 3 x^{4}$ で因数分解します。

$- x^{2} (3 x^{2}) - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.2

$- x^{2}$ を $- 20 x^{3}$ で因数分解します。

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) + 7 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.3

$- x^{2}$ を $7 x^{2}$ で因数分解します。

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

ステップ 2.1.4

$- x^{2}$ を $- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x)$ で因数分解します。

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

ステップ 2.1.5

$- x^{2}$ を $- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} (- 7)$ で因数分解します。

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x - 7) = 0$

ステップ 2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ で和が $b = 20$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$20$ を $20 x$ で因数分解します。

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 (x) - 7) = 0$

ステップ 2.2.1.1.2

$20$ を $- 1$ プラス $21$ に書き換える

$- x^{2} (3 x^{2} + (- 1 + 21) x - 7) = 0$

ステップ 2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- x^{2} (3 x^{2} - 1 x + 21 x - 7) = 0$

ステップ 2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) + 21 x - 7) = 0$

ステップ 2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- x^{2} (x (3 x - 1) + 7 (3 x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.1.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- x^{2} ((3 x - 1) (x + 7)) = 0$

ステップ 2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

ステップ 4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 5.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 6

$x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x + 7 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 7

最終解は $- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{1}{3}, - 7$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$- 3 {(- 10)}^{4} - 20 {(- 10)}^{3} + 7 {(- 10)}^{2} \leq 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 9300$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.2

区間 $- 7 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 7 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$- 3 {(- 4)}^{4} - 20 {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} \leq 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $624$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.3

区間 $0 < x < \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $0 < x < \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.17$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $0.17$ で置き換えます。

$- 3 {(0.17)}^{4} - 20 {(0.17)}^{3} + 7 {(0.17)}^{2} \leq 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $0.10153437$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.4

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$- 3 {(3)}^{4} - 20 {(3)}^{3} + 7 {(3)}^{2} \leq 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $- 720$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{3}$ 偽

$x > \frac{1}{3}$ 真

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{3}$ 偽

$x > \frac{1}{3}$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 7$ または $x \geq \frac{1}{3}$ または $x = 0$

ステップ 11

区間をまとめます。

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

区間記号：

$(- \infty, - 7] \cup [0, 0] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

ステップ 13

代数 例

代数例