代数例

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

ステップ 1

$\frac{7}{2} x$ を簡約します。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$x^{2} - 2 < 0 + 0 + \frac{7}{2} x$

ステップ 1.2

0を加えて簡約します。

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

ステップ 1.3

$\frac{7}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} - 2 < \frac{7 x}{2}$

ステップ 2

不等式の両辺から $\frac{7 x}{2}$ を引きます。

$x^{2} - 2 - \frac{7 x}{2} < 0$

ステップ 3

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 x^{2} - 4 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

ステップ 3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$- \frac{7 x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} - 4 - 7 x < 0$

ステップ 3.3

$- 4$ を移動させます。

$2 x^{2} - 7 x - 4 < 0$

ステップ 4

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} - 7 x - 4 = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = 2$ 、 $b = - 7$ 、および $c = - 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.1.2.2

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.1.3

$49$ と $32$ をたし算します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.1.4

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{7 \pm 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 4, - \frac{1}{2}$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (- 3)$

ステップ 10.1.3

左辺 $7$ は右辺 $- 10.5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $- \frac{1}{2} < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- \frac{1}{2} < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (0)$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (6)$

ステップ 10.3.3

左辺 $34$ は右辺 $21$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{1}{2}$ 偽

$- \frac{1}{2} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - \frac{1}{2}$ 偽

$- \frac{1}{2} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{1}{2} < x < 4$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- \frac{1}{2} < x < 4$

区間記号：

$(- \frac{1}{2}, 4)$

ステップ 13

代数 例

代数例