代数例

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[3]{1 - y^{3}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{1 - y^{3}}}^{3} = x^{3}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{1 - y^{3}}$ を ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$1 - y^{3} = x^{3}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- y^{3} = x^{3} - 1$

ステップ 3.4.2

$- y^{3} = x^{3} - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- y^{3} = x^{3} - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

$\frac{x^{3}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y^{3} = - 1 \cdot x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot x^{3}$ を $- x^{3}$ に書き換えます。

$y^{3} = - x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.3.1.3

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$y^{3} = - x^{3} + 1$

ステップ 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 1}$

ステップ 3.4.4

$\sqrt[3]{- x^{3} + 1}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.1

$- x^{3}$ を ${(- x)}^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1}$

ステップ 3.4.4.1.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1^{3}}$

ステップ 3.4.4.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = - x$ であり、 $b = 1$ です。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.4.4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.4.4.3.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.4.4.3.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.4.4.3.4

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.4.4.3.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.4.4.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

ステップ 3.4.4.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ が $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.3.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.6

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.7

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.8.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.9

${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.10.1

積の法則を $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.10.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1)}$

ステップ 5.2.11

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1)}$

ステップ 5.2.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.12.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1)}$

ステップ 5.2.12.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1)}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1 - {(\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})}^{3}}$

ステップ 5.3.3

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1^{3} - {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{3}}$

ステップ 5.3.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ です。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

ステップ 5.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

ステップ 5.3.5.2

$\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ に $1$ をかけます。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

ステップ 5.3.5.3

${\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}})}$

ステップ 5.3.5.4

積の法則を $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ に当てはめます。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{(- x + 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}})}$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ は $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

代数 例

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