代数例

$y = 4 \sqrt{x + 3}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 4 \sqrt{y + 3}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $4 \sqrt{y + 3} = x$ として書き換えます。

$4 \sqrt{y + 3} = x$

ステップ 2.2

$4 \sqrt{y + 3} = x$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4 \sqrt{y + 3} = x$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sqrt{y + 3}}{4} = \frac{x}{4}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{y + 3}}{4} = \frac{x}{4}$

ステップ 2.2.2.1.2

$\sqrt{y + 3}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{y + 3} = \frac{x}{4}$

ステップ 2.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 2.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y + 3}$ を ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 3)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

簡約します。

$y + 3 = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

${(\frac{x}{4})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

積の法則を $\frac{x}{4}$ に当てはめます。

$y + 3 = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

ステップ 2.4.3.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$y + 3 = \frac{x^{2}}{16}$

ステップ 2.5

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = \frac{x^{2}}{16} - 3$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$ が $f (x) = 4 \sqrt{x + 3}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{{(4 \sqrt{x + 3})}^{2}}{16} - 3$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

積の法則を $4 \sqrt{x + 3}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{4^{2} {\sqrt{x + 3}}^{2}}{16} - 3$

ステップ 4.2.3.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {\sqrt{x + 3}}^{2}}{16} - 3$

ステップ 4.2.3.1.3

${\sqrt{x + 3}}^{2}$ を $x + 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} - 3$

ステップ 4.2.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} - 3$

ステップ 4.2.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{16} - 3$

ステップ 4.2.3.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{16} - 3$

ステップ 4.2.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

ステップ 4.2.3.1.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

ステップ 4.2.3.2

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

ステップ 4.2.3.2.2

$x + 3$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

ステップ 4.2.4

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x + 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{2}}{16} - 3)$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{(\frac{x^{2}}{16} - 3) + 3}$

ステップ 4.3.3

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{16} + 0}$

ステップ 4.3.4

$\frac{x^{2}}{16}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{16}}$

ステップ 4.3.5

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 4.3.6

$\frac{x^{2}}{4^{2}}$ を ${(\frac{x}{4})}^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{{(\frac{x}{4})}^{2}}$

ステップ 4.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 (\frac{x}{4})$

ステップ 4.3.8

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 (\frac{x}{4})$

ステップ 4.3.8.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$ は $f (x) = 4 \sqrt{x + 3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$

代数 例

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