代数例

$2 \sqrt{x + 3} \leq 8$

ステップ 1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} \leq 8^{2}$

ステップ 2

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

積の法則を $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

ステップ 2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

ステップ 2.2.1.3

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 8^{2}$

ステップ 2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 8^{2}$

ステップ 2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x + 3)}^{1} \leq 8^{2}$

ステップ 2.2.1.4

簡約します。

$4 (x + 3) \leq 8^{2}$

ステップ 2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 \cdot 3 \leq 8^{2}$

ステップ 2.2.1.6

$4$ に $3$ をかけます。

$4 x + 12 \leq 8^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$8$ を $2$ 乗します。

$4 x + 12 \leq 64$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

不等式の両辺から $12$ を引きます。

$4 x \leq 64 - 12$

ステップ 3.1.2

$64$ から $12$ を引きます。

$4 x \leq 52$

ステップ 3.2

$4 x \leq 52$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4 x \leq 52$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{52}{4}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{52}{4}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{52}{4}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$52$ を $4$ で割ります。

$x \leq 13$

ステップ 4

$2 \sqrt{x + 3} - 8$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\sqrt{x + 3}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 3 \geq 0$

ステップ 4.2

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$x \geq - 3$

ステップ 4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 3, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 13$

$x > 13$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$2 \sqrt{(- 6) + 3} \leq 8$

ステップ 6.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.2

区間 $- 3 < x < 13$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- 3 < x < 13$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 \sqrt{(0) + 3} \leq 8$

ステップ 6.2.3

左辺 $3.46410161$ は右辺 $8$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.3

区間 $x > 13$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $x > 13$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 16$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $16$ で置き換えます。

$2 \sqrt{(16) + 3} \leq 8$

ステップ 6.3.3

左辺 $8.71779788$ は右辺 $8$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 13$ 真

$x > 13$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 13$ 真

$x > 13$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 \leq x \leq 13$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 3 \leq x \leq 13$

区間記号：

$[- 3, 13]$

ステップ 9

代数 例

代数例