代数例

$5^{x + 4} = y$

ステップ 1

方程式を $y = 5^{x + 4}$ として書き換えます。

$y = 5^{x + 4}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 5^{y + 4}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $5^{y + 4} = x$ として書き換えます。

$5^{y + 4} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{y + 4}) = \ln (x)$

ステップ 3.3

$y + 4$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{y + 4})$ を展開します。

$(y + 4) \ln (5) = \ln (x)$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$y \ln (5) + 4 \ln (5) = \ln (x)$

ステップ 3.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y \ln (5) + 4 \ln (5) - \ln (x) = 0$

ステップ 3.6

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.6.1

方程式の両辺から $4 \ln (5)$ を引きます。

$y \ln (5) - \ln (x) = - 4 \ln (5)$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $\ln (x)$ を足します。

$y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$

ステップ 3.7

$y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.1

$y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 3.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 3.7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 3.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 3.7.3.1.2

$- 4$ を $1$ で割ります。

$y = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ が $f (x) = 5^{x + 4}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} \cdot 5^{x + 4}$ の値を求めます。

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{\ln (5^{x + 4})}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$x + 4$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x + 4})$ を展開します。

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.2

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.2.2

$x + 4$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + x + 4$

ステップ 5.2.4

$- 4 + x + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ の値を求めます。

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4}$

ステップ 5.3.3

$(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

ステップ 5.3.3.2

$0$ と $\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ をたし算します。

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

ステップ 5.3.4

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

ステップ 5.3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ は $f (x) = 5^{x + 4}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

代数 例

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