代数例

y - 5 = f (\frac{x}{- 1})

$y - 5 = f (\frac{x}{- 1})$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺から

f (\frac{x}{- 1})

$f (\frac{x}{- 1})$ を引きます。

y - 5 - f \frac{x}{- 1} = 0

$y - 5 - f \frac{x}{- 1} = 0$

ステップ 1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

\frac{x}{- 1}

$\frac{x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

y - 5 - f (- 1 \cdot x) = 0

$y - 5 - f (- 1 \cdot x) = 0$

ステップ 1.1.2.2

- 1 \cdot x

$- 1 \cdot x$ を

- x

$- x$ に書き換えます。

y - 5 - f (- x) = 0

$y - 5 - f (- x) = 0$

ステップ 1.1.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

y - 5 - 1 \cdot - 1 f x = 0

$y - 5 - 1 \cdot - 1 f x = 0$

ステップ 1.1.2.4

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

y - 5 + 1 f x = 0

$y - 5 + 1 f x = 0$

ステップ 1.1.2.5

f

$f$ に

1

$1$ をかけます。

y - 5 + f x = 0

$y - 5 + f x = 0$

y - 5 + f x = 0

$y - 5 + f x = 0$

ステップ 1.1.3

- 5

$- 5$ を移動させます。

y + f x - 5 = 0

$y + f x - 5 = 0$

ステップ 1.1.4

y

$y$ と

f x

$f x$ を並べ替えます。

f x + y - 5 = 0

$f x + y - 5 = 0$

f x + y - 5 = 0

$f x + y - 5 = 0$

ステップ 1.2

方程式の両辺に

5

$5$ を足します。

f x + y = 5

$f x + y = 5$

ステップ 1.3

各項を

5

$5$ で割り、右辺を1と等しくします。

\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{5}{5}

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{5}{5}$

ステップ 1.4

方程式の各項を簡約し、右辺を

1

$1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が

1

$1$ に等しいことが必要です。

\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数

h

$h$ は原点からのx補正値を、

k

$k$ は原点

a

$a$ からのy補正値を表します。

a = \sqrt{5}

$a = \sqrt{5}$

b = \sqrt{5}

$b = \sqrt{5}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は

(h, k)

$(h, k)$ の形に従います。

h

$h$ と

k

$k$ の値に代入します。

(0, 0)

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離

c

$c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式に代入します。

\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ を

5

$5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ を

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

2

$2$ をまとめます。

\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{5^{1} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を

$5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{5}$ を

$5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{5 + 5^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{5 + 5}$

ステップ 5.3.3

$5$ と

$5$ をたし算します。

$\sqrt{10}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、

$a$ を

$h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と

$a$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{5}, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、

$h$ から

$a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と

$a$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は

$(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、

$c$ を

$h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と

$c$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{10}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、

$h$ から

$c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と

$c$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{10}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と

$b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

${\sqrt{5}}^{2}$ を

$5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{5}$ を

$5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{5 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を

$5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{5}$ を

$5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5 + 5^{1}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{5 + 5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.1.3

$5$ と

$5$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{10}$ と

$\sqrt{5}$ を単一根にまとめます。

$\sqrt{\frac{10}{5}}$

ステップ 8.3.3

$10$ を

$5$ で割ります。

$\sqrt{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

${\sqrt{5}}^{2}$ を

$5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{5}$ を

$5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5^{1}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.5

指数を求めます。

$\frac{5}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{5}{\sqrt{10}}$ に

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$\frac{5}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$\frac{5}{\sqrt{10}}$ に

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{10}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{10}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{10}}^{2}$ を

$10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{10}$ を

$10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{5 \sqrt{10}}{10}$

ステップ 9.3.4

$5$ と

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.1

$5$ を

$5 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$\frac{5 (\sqrt{10})}{10}$

ステップ 9.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.2.1

$5$ を

$10$ で因数分解します。

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

ステップ 9.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

ステップ 9.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

ステップ 11

$1 \cdot x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$1 \cdot x$ と

$0$ をたし算します。

$y = 1 \cdot x$

ステップ 11.2

$x$ に

$1$ をかけます。

$y = x$

ステップ 12

$- 1 \cdot x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$- 1 \cdot x$ と

$0$ をたし算します。

$y = - 1 \cdot x$

ステップ 12.2

$- 1 x$ を

$- x$ に書き換えます。

$y = - x$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = x, y = - x$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心：

$(0, 0)$

頂点：

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

焦点：

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

偏心：

$\sqrt{2}$

焦点のパラメータ：

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

漸近線：

$y = x$ 、

$y = - x$

ステップ 15

代数 例

代数例