代数例

$x^{2} - y^{2} = 1$

ステップ 1

$x = r \cos (θ)$ なので、 $x$ を $r \cos (θ)$ で置き換えます。

${(r \cos (θ))}^{2} - y^{2} = 1$

ステップ 2

$y = r \sin (θ)$ なので、 $y$ を $r \sin (θ)$ で置き換えます。

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2} = 1$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r \cos (θ)$ であり、 $b = r \sin (θ)$ です。

$(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - (r \sin (θ))) = 1$

ステップ 3.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - r \sin (θ))$ を展開します。

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ステップ 3.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3

項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.3.1

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.1.1.3.1.1

$r \cos (θ) (- r \sin (θ))$ と $r \sin (θ) (r \cos (θ))$ について因数を並べ替えます。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) - r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.1.2

$- r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ と $r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ をたし算します。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + 0 + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.1.3

$r \cos (θ) (r \cos (θ))$ と $0$ をたし算します。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.3.2.1

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.3.2.1.1

$r$ を移動させます。

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.1.2

$r$ に $r$ をかけます。

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.2

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1.3.2.2.1

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.2.2

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r \sin (θ) r \sin (θ) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.4

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1.3.2.4.1

$r$ を移動させます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - (r \cdot r) \sin (θ) \sin (θ) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.4.2

$r$ に $r$ をかけます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin (θ) \sin (θ) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.5

$- r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1.3.2.5.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.5.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} = 1$

ステップ 3.1.1.3.2.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) = 1$

ステップ 3.2

$r^{2}$ を $r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$r^{2}$ を $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

ステップ 3.2.2

$r^{2}$ を $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ))$ で因数分解します。

$r^{2} (\cos^{2} (θ) - 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

ステップ 3.3

因数分解。

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ステップ 3.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (θ)$ であり、 $b = \sin (θ)$ です。

$r^{2} ((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))) = 1$

ステップ 3.3.2

不要な括弧を削除します。

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$

ステップ 3.4

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ の各項を $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ の各項を $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ で割ります。

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$\cos (θ) + \sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

ステップ 3.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

ステップ 3.4.2.2

$\cos (θ) - \sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

ステップ 3.4.2.2.2

$r^{2}$ を $1$ で割ります。

$r^{2} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

ステップ 3.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

ステップ 3.6

$\pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

ステップ 3.6.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

ステップ 3.6.3

$\frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ に $\frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ をかけます。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}} \cdot \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

ステップ 3.6.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.6.4.1

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

ステップ 3.6.4.2

$\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

ステップ 3.6.4.3

$\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} {\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1}}$

ステップ 3.6.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.6.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}}$

ステップ 3.6.4.6

${\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}$ を $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ を ${((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{({((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.6.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.6.4.6.4.2

式を書き換えます。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{1}}$

ステップ 3.6.4.6.5

簡約します。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

ステップ 3.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

ステップ 3.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

ステップ 3.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

代数 例

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