代数例

$x^{2} + (y - {(\frac{3}{x})}^{2}) \cdot 2 = 1$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$2 y - \frac{18}{x^{2}} = 1 - x^{2}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺に $\frac{18}{x^{2}}$ を足します。

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{18}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{18}{x^{2}}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{18}{x^{2}}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{18}{x^{2}}}{2}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{18}{x^{2}}}{2}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{18}{x^{2}}}{2}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\frac{18}{x^{2}}}{2}$

ステップ 1.2.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{18}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.3.1.3

まとめる。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{18 \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.1.4

$18$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.4.1

$2$ を $18 \cdot 1$ で因数分解します。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (9 \cdot 1)}{x^{2} \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1.4.2.1

$2$ を $x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (9 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

ステップ 1.2.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (9 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

ステップ 1.2.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.2.3.1.5

$9$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 2

式 $\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{x^{2}}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 4$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

まとめる。

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ステップ 6.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - x^{2}}{2} + \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 6.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - x^{2}}{2} + \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 6.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} + \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 6.1.3

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 6.1.4

$\frac{9}{x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.1.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 x^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.1.5.1

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ に $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{9}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.1.5.2

$\frac{9}{x^{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{9 \cdot 2}{x^{2} \cdot 2}$

ステップ 6.1.5.3

$x^{2} \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.7.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 6.1.7.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1.7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.7.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.2.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - x + x + x (- x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{(1 - x + x - x \cdot x) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.2.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.1.7.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.2.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{(1 - x + x - x^{2}) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(1 + 0 - x^{2}) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(1 - x^{2}) x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 x^{2} - x^{2} x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x^{2} x^{2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.7.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - (x^{2} x^{2}) + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} - x^{2 + 2} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - x^{4} + 9 \cdot 2}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.6

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x^{4} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.7.7

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.8

くくりだして簡約します。

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ステップ 6.1.8.1

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.8.2

$- 1$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.8.3

$- 1$ を $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.8.4

$18$ を $- 1 (- 18)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 18)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.8.5

$- 1$ を $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 18)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.8.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.8.6.1

$- (x^{4} - x^{2} - 18)$ を $- 1 (x^{4} - x^{2} - 18)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.8.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.1.9

簡約します。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.2.2

$- 1$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.2.3

$- 1$ を $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.2.4

$18$ を $- 1 (- 18)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 18)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.2.5

$- 1$ を $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 18)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.1

$- (x^{4} - x^{2} - 18)$ を $- 1 (x^{4} - x^{2} - 18)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.2.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3

$- (x^{4} - x^{2} - 18)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$x^{4} - x^{2} - 18$ を否定します。

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 18)}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.4

括弧を移動させます。

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.3.7

$- 1$ に $- 18$ をかけます。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.4

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

ステップ 6.5

被除数 $- x^{4}$ の最高次項を除数 $2 x^{2}$ の最高次項で割ります。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

ステップ 6.6

新しい商の項に除数を掛けます。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

ステップ 6.7

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{4} + 0 + 0$ の符号をすべて変更します。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

ステップ 6.8

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

ステップ 6.9

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

ステップ 6.10

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x^{2}$ の最高次項で割ります。

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

ステップ 6.11

新しい商の項に除数を掛けます。

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{2}$

$0$

ステップ 6.12

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 0$ の符号をすべて変更します。

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{2}$

$0$

ステップ 6.13

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{2}$

$0$

$18$

ステップ 6.14

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{18}{2 x^{2}}$

ステップ 6.15

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 8

代数 例

代数例