代数例

$\frac{x}{3 x - 5} \leq \frac{2}{x - 1}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{2}{x - 1}$ を引きます。

$\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

ステップ 2

$\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{x}{3 x - 5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

ステップ 2.2

$- \frac{2}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ を掛けます。

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(3 x - 5) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{x}{3 x - 5}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{2}{x - 1}$ に $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ をかけます。

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(x - 1) (3 x - 5)} \leq 0$

ステップ 2.3.3

$(x - 1) (3 x - 5)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (x - 1) - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.3

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.5

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.6

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x - 6 x - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.7

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x - 6 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.8

$- x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 7 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 2.5.9

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.5.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $10$ で、その和が $- 7$ です。

$- 5, - 2$

ステップ 2.5.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 5

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 x = 5$

ステップ 7

$3 x = 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$3 x = 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{3}$

ステップ 8

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 9

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 5$

$x = 2$

$x = \frac{5}{3}$

$x = 1$

ステップ 10

解をまとめます。

$x = 5, 2, \frac{5}{3}, 1$

ステップ 11

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 11.1

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(3 x - 5) (x - 1) = 0$

ステップ 11.2

$x$ について解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 11.2.2

$3 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.2.2.1

$3 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 5 = 0$

ステップ 11.2.2.2

$x$ について $3 x - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.2.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 x = 5$

ステップ 11.2.2.2.2

$3 x = 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.2.2.2.2.1

$3 x = 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 11.2.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 11.2.2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{3}$

ステップ 11.2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 11.2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 11.2.4

最終解は $(3 x - 5) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{5}{3}, 1$

ステップ 11.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

ステップ 12

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1$

$1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 13

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 13.1

区間 $x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.1.1

区間 $x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 13.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{0}{3 (0) - 5} \leq \frac{2}{(0) - 1}$

ステップ 13.1.3

左辺 $0$ は右辺 $- 2$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 13.2

区間 $1 < x < \frac{5}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.2.1

区間 $1 < x < \frac{5}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.33$

ステップ 13.2.2

$x$ を元の不等式の $1.33$ で置き換えます。

$\frac{1.33}{3 (1.33) - 5} \leq \frac{2}{(1.33) - 1}$

ステップ 13.2.3

左辺 $- 1.\overline{3168}$ は右辺 $6.\overline{06}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 13.3

区間 $\frac{5}{3} < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.3.1

区間 $\frac{5}{3} < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.83$

ステップ 13.3.2

$x$ を元の不等式の $1.83$ で置き換えます。

$\frac{1.83}{3 (1.83) - 5} \leq \frac{2}{(1.83) - 1}$

ステップ 13.3.3

左辺 $3.73469387$ は右辺 $2.40963855$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 13.4

区間 $2 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.4.1

区間 $2 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 13.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{4}{3 (4) - 5} \leq \frac{2}{(4) - 1}$

ステップ 13.4.3

左辺 $0.\overline{571428}$ は右辺 $0.\overline{6}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 13.5

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.5.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 13.5.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{8}{3 (8) - 5} \leq \frac{2}{(8) - 1}$

ステップ 13.5.3

左辺 $0.42105263$ は右辺 $0.\overline{285714}$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 13.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1$ 偽

$1 < x < \frac{5}{3}$ 真

$\frac{5}{3} < x < 2$ 偽

$2 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < 1$ 偽

$1 < x < \frac{5}{3}$ 真

$\frac{5}{3} < x < 2$ 偽

$2 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 14

解はすべての真の区間からなります。

$1 < x < \frac{5}{3}$ または $2 \leq x \leq 5$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$1 < x < \frac{5}{3} or 2 \leq x \leq 5$

区間記号：

$(1, \frac{5}{3}) \cup [2, 5]$

ステップ 16

代数 例

代数例