代数例

$x^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

ステップ 1

$u$ を $x^{4}$ に代入します。

$u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

ステップ 2

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 3

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4

$a = - 2$ と $b = 2 \sqrt{3}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$4$ に $3$ をかけます。

$| z | = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{12 + 4}$

ステップ 5.3.3

$12$ と $4$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{16}$

ステップ 5.3.4

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

ステップ 5.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 4$

ステップ 6

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{3}}{- 2})$

ステップ 7

$\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 8

$θ = \frac{2 π}{3}$ と $| z | = 4$ の値を代入します。

$4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

ステップ 9

方程式の右辺を三角公式で置き換えます。

$u^{4} = 4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

ステップ 10

ドモアブルの定理を利用して方程式の $u$ を求めます。

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = - 2 + 2 \sqrt{3} i = 4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

ステップ 11

三角形の係数を $r^{4}$ と等しくし、 $r$ の値を求めます。

$r^{4} = 4$

ステップ 12

$r$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{4}$

ステップ 12.2

$\pm \sqrt[4]{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

ステップ 12.2.2

$\sqrt[4]{2^{2}}$ を $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ に書き換えます。

$r = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 12.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = \pm \sqrt{2}$

ステップ 12.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \sqrt{2}$

ステップ 12.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - \sqrt{2}$

ステップ 12.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 13

$r$ の近似値を求めます。

$r = 1.41421356$

ステップ 14

$θ$ の可能な値を求めます。

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{2 π}{3} + 2 π n)$ と $s i n (4 θ) = s i n (\frac{2 π}{3} + 2 π n)$

ステップ 15

$θ$ のすべての可能な値を求めることで方程式 $4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ を導きます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$

ステップ 16

$r = 0$ の $θ$ の値を求めます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

ステップ 17

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$2 π \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 0 π$

ステップ 17.1.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 0$

ステップ 17.1.2

$\frac{2 π}{3}$ と $0$ をたし算します。

$4 θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 17.2

$4 θ = \frac{2 π}{3}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$4 θ = \frac{2 π}{3}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

ステップ 17.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

ステップ 17.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

ステップ 17.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 17.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.2.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 17.2.3.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

ステップ 17.2.3.2.3

共通因数を約分します。

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 17.2.3.2.4

式を書き換えます。

$θ = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 17.2.3.3

$\frac{π}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$θ = \frac{π}{3 \cdot 2}$

ステップ 17.2.3.4

$3$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{π}{6}$

ステップ 18

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ の解を求めます。

$u_{0} = 1.41421356 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 19

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 19.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

ステップ 19.1.3

$i$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

ステップ 19.2

分配則を当てはめます。

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

ステップ 19.3

$1.41421356 \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

$1.41421356$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{0} = \frac{1.41421356 \sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

ステップ 19.3.2

$1.41421356$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$u_{0} = \frac{2.44948974}{2} + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

ステップ 19.4

$1.41421356$ と $\frac{i}{2}$ をまとめます。

$u_{0} = \frac{2.44948974}{2} + \frac{1.41421356 i}{2}$

ステップ 19.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.5.1

$2.44948974$ を $2$ で割ります。

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 i}{2}$

ステップ 19.5.2

$1.41421356$ を $1.41421356 i$ で因数分解します。

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 (i)}{2}$

ステップ 19.5.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 (i)}{2 (1)}$

ステップ 19.5.4

分数を分解します。

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356}{2} \cdot \frac{i}{1}$

ステップ 19.5.5

$1.41421356$ を $2$ で割ります。

$u_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 (\frac{i}{1})$

ステップ 19.5.6

$i$ を $1$ で割ります。

$u_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 i$

ステップ 20

$x^{4}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{0} = 0 + 1.22474487 + 0.70710678 i$

ステップ 21

$r = 1$ の $θ$ の値を求めます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (1)$

ステップ 22

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π$

ステップ 22.1.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 22.1.3

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}$

ステップ 22.1.4

公分母の分子をまとめます。

$4 θ = \frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}$

ステップ 22.1.5

$3$ に $2$ をかけます。

$4 θ = \frac{2 π + 6 π}{3}$

ステップ 22.1.6

$2 π$ と $6 π$ をたし算します。

$4 θ = \frac{8 π}{3}$

ステップ 22.2

$4 θ = \frac{8 π}{3}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1

$4 θ = \frac{8 π}{3}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

ステップ 22.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

ステップ 22.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

ステップ 22.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 22.2.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.3.2.1

$4$ を $8 π$ で因数分解します。

$θ = \frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 22.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 22.2.3.2.3

式を書き換えます。

$θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 23

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ の解を求めます。

$u_{1} = 1.41421356 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

ステップ 24

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{1} = 1.41421356 (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

ステップ 24.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

ステップ 24.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 24.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

ステップ 24.1.5

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 24.2

分配則を当てはめます。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2}) + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 24.3

$1.41421356 (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.3.1

$- 1$ に $1.41421356$ をかけます。

$u_{1} = - 1.41421356 (\frac{1}{2}) + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 24.3.2

$- 1.41421356$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 24.4

$1.41421356 \frac{i \sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.4.1

$1.41421356$ と $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + \frac{1.41421356 (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 24.4.2

$\sqrt{3}$ に $1.41421356$ をかけます。

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + \frac{2.44948974 i}{2}$

ステップ 24.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.5.1

$- 1.41421356$ を $2$ で割ります。

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 i}{2}$

ステップ 24.5.2

$2.44948974$ を $2.44948974 i$ で因数分解します。

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 (i)}{2}$

ステップ 24.5.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 (i)}{2 (1)}$

ステップ 24.5.4

分数を分解します。

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974}{2} \cdot \frac{i}{1}$

ステップ 24.5.5

$2.44948974$ を $2$ で割ります。

$u_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 (\frac{i}{1})$

ステップ 24.5.6

$i$ を $1$ で割ります。

$u_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 i$

ステップ 25

$x^{4}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{1} = 0 - 0.70710678 + 1.22474487 i$

ステップ 26

$r = 2$ の $θ$ の値を求めます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (2)$

ステップ 27

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 4 π$

ステップ 27.1.2

$4 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 27.1.3

$4 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}$

ステップ 27.1.4

公分母の分子をまとめます。

$4 θ = \frac{2 π + 4 π \cdot 3}{3}$

ステップ 27.1.5

$3$ に $4$ をかけます。

$4 θ = \frac{2 π + 12 π}{3}$

ステップ 27.1.6

$2 π$ と $12 π$ をたし算します。

$4 θ = \frac{14 π}{3}$

ステップ 27.2

$4 θ = \frac{14 π}{3}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1

$4 θ = \frac{14 π}{3}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

ステップ 27.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

ステップ 27.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

ステップ 27.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{14 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 27.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.3.2.1

$2$ を $14 π$ で因数分解します。

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 27.2.3.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

ステップ 27.2.3.2.3

共通因数を約分します。

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 27.2.3.2.4

式を書き換えます。

$θ = \frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 27.2.3.3

$\frac{7 π}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$θ = \frac{7 π}{3 \cdot 2}$

ステップ 27.2.3.4

$3$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{7 π}{6}$

ステップ 28

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ の解を求めます。

$u_{2} = 1.41421356 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 29

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$u_{2} = 1.41421356 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 29.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

ステップ 29.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \sin (\frac{π}{6})))$

ステップ 29.1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \frac{1}{2}))$

ステップ 29.1.5

$i$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})$

ステップ 29.2

分配則を当てはめます。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

ステップ 29.3

$1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.3.1

$- 1$ に $1.41421356$ をかけます。

$u_{2} = - 1.41421356 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

ステップ 29.3.2

$- 1.41421356$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{2} = \frac{- 1.41421356 \sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

ステップ 29.3.3

$- 1.41421356$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

ステップ 29.4

$1.41421356 (- \frac{i}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.4.1

$- 1$ に $1.41421356$ をかけます。

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} - 1.41421356 \frac{i}{2}$

ステップ 29.4.2

$- 1.41421356$ と $\frac{i}{2}$ をまとめます。

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} + \frac{- 1.41421356 i}{2}$

ステップ 29.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.5.1

$- 2.44948974$ を $2$ で割ります。

$u_{2} = - 1.22474487 + \frac{- 1.41421356 i}{2}$

ステップ 29.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{(1.41421356) i}{2}$

ステップ 29.5.3

$1.41421356$ を $1.41421356 i$ で因数分解します。

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{1.41421356 (i)}{2}$

ステップ 29.5.4

$2$ を $2$ で因数分解します。

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{1.41421356 (i)}{2 (1)}$

ステップ 29.5.5

分数を分解します。

$u_{2} = - 1.22474487 - (\frac{1.41421356}{2} \cdot \frac{i}{1})$

ステップ 29.5.6

$1.41421356$ を $2$ で割ります。

$u_{2} = - 1.22474487 - (0.70710678 (\frac{i}{1}))$

ステップ 29.5.7

$i$ を $1$ で割ります。

$u_{2} = - 1.22474487 - (0.70710678 i)$

ステップ 29.5.8

$0.70710678$ に $- 1$ をかけます。

$u_{2} = - 1.22474487 - 0.70710678 i$

ステップ 30

$x^{4}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{2} = 0 - 1.22474487 - 0.70710678 i$

ステップ 31

$r = 3$ の $θ$ の値を求めます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (3)$

ステップ 32

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 6 π$

ステップ 32.1.2

$6 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 6 π \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 32.1.3

$6 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{6 π \cdot 3}{3}$

ステップ 32.1.4

公分母の分子をまとめます。

$4 θ = \frac{2 π + 6 π \cdot 3}{3}$

ステップ 32.1.5

$3$ に $6$ をかけます。

$4 θ = \frac{2 π + 18 π}{3}$

ステップ 32.1.6

$2 π$ と $18 π$ をたし算します。

$4 θ = \frac{20 π}{3}$

ステップ 32.2

$4 θ = \frac{20 π}{3}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.1

$4 θ = \frac{20 π}{3}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

ステップ 32.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

ステップ 32.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

ステップ 32.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 32.2.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.3.2.1

$4$ を $20 π$ で因数分解します。

$θ = \frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 32.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 32.2.3.2.3

式を書き換えます。

$θ = \frac{5 π}{3}$

ステップ 33

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ の解を求めます。

$u_{3} = 1.41421356 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

ステップ 34

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$u_{3} = 1.41421356 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

ステップ 34.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

ステップ 34.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3})))$

ステップ 34.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2}))$

ステップ 34.1.5

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 34.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.2.1

分配則を当てはめます。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2}) + 1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 34.2.2

$1.41421356$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + 1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 34.3

$1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.3.1

$- 1$ に $1.41421356$ をかけます。

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} - 1.41421356 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 34.3.2

$- 1.41421356$ と $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + \frac{- 1.41421356 (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 34.3.3

$\sqrt{3}$ に $- 1.41421356$ をかけます。

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + \frac{- 2.44948974 i}{2}$

ステップ 34.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.4.1

$1.41421356$ を $2$ で割ります。

$u_{3} = 0.70710678 + \frac{- 2.44948974 i}{2}$

ステップ 34.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{(2.44948974) i}{2}$

ステップ 34.4.3

$2.44948974$ を $2.44948974 i$ で因数分解します。

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{2.44948974 (i)}{2}$

ステップ 34.4.4

$2$ を $2$ で因数分解します。

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{2.44948974 (i)}{2 (1)}$

ステップ 34.4.5

分数を分解します。

$u_{3} = 0.70710678 - (\frac{2.44948974}{2} \cdot \frac{i}{1})$

ステップ 34.4.6

$2.44948974$ を $2$ で割ります。

$u_{3} = 0.70710678 - (1.22474487 (\frac{i}{1}))$

ステップ 34.4.7

$i$ を $1$ で割ります。

$u_{3} = 0.70710678 - (1.22474487 i)$

ステップ 34.4.8

$1.22474487$ に $- 1$ をかけます。

$u_{3} = 0.70710678 - 1.22474487 i$

ステップ 35

$x^{4}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{3} = 0 + 0.70710678 - 1.22474487 i$

ステップ 36

$u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ の複素解です。

$z_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 i$

$z_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 i$

$z_{2} = - 1.22474487 - 0.70710678 i$

$z_{3} = 0.70710678 - 1.22474487 i$

代数 例

代数例