代数例

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

ステップ 1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 2

$\frac{x + y}{x - y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + y}{x + y}$ を掛けます。

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 3

$\frac{1}{x + y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - y}{x - y}$ を掛けます。

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - y) (x + y)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x + y}{x - y}$ に $\frac{x + y}{x + y}$ をかけます。

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{x + y}$ に $\frac{x - y}{x - y}$ をかけます。

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 4.3

$(x - y) (x + y)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + y) (x + y) + x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + y) (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + y) (x + y)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + y) + y (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x y + y (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x y + y x + y \cdot y + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x y + y x + y \cdot y + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x y + y x + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 6.2.2

$x y$ と $y x$ をたし算します。

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ステップ 6.2.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + x y + x y + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 6.2.2.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - x^{2} - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 7

$x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - x^{2} - y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 x y + y^{2} + x - y + 0 - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 7.2

$2 x y + y^{2} + x - y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x y + y^{2} + x - y - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 7.3

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{2 x y + x - y + 0}{(x + y) (x - y)}$

ステップ 7.4

$2 x y + x - y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x y + x - y}{(x + y) (x - y)}$

代数 例

代数例