代数例

$\log_{3} (1 - x) \geq \log_{3} (x + 16 - x^{2})$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log_{3} (1 - x) = \log_{3} (x + 16 - x^{2})$

ステップ 2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$1 - x = x + 16 - x^{2}$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x + 16 - x^{2} = 1 - x$

ステップ 2.2.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$x + 16 - x^{2} + x = 1$

ステップ 2.2.2.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x + 16 - x^{2} = 1$

ステップ 2.2.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x + 16 - x^{2} - 1 = 0$

ステップ 2.2.4

$16$ から $1$ を引きます。

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

ステップ 2.2.5

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$- 1$ を $2 x - x^{2} + 15$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

$2 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0$

ステップ 2.2.5.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 2 x + 15 = 0$

ステップ 2.2.5.1.3

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 15 = 0$

ステップ 2.2.5.1.4

$15$ を $- 1 (- 15)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

ステップ 2.2.5.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

ステップ 2.2.5.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 15)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

ステップ 2.2.5.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 2.2.5.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 5) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.2.5.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 5) (x + 3) = 0$

ステップ 2.2.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.2.7

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.2.7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.2.8

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.2.8.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.2.9

最終解は $- (x - 5) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 3$

ステップ 3

$\log_{3} (\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16})$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\log_{3} (\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16} > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$1 - x = 0$

$- x^{2} + x + 16 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 3.2.3

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 3.2.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.2.5

$a = - 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 16)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.6.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.6.1.2.2

$4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.6.1.3

$1$ と $64$ をたし算します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$

ステップ 3.2.6.3

$\frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.2.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.2.8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1$

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.2.9

解をまとめます。

$x = 1, \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.2.10

$\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.1

$\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$- x^{2} + x + 16 = 0$

ステップ 3.2.10.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.2.10.2.2

$a = - 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 16)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.10.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.10.2.3.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.2.3.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.10.2.3.1.2.2

$4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.10.2.3.1.3

$1$ と $64$ をたし算します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.10.2.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$

ステップ 3.2.10.2.3.3

$\frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.2.10.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.2.10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{1 - \sqrt{65}}{2}, \frac{1 + \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \infty)$

ステップ 3.2.11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.2.12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.1

区間 $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.1.1

区間 $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 3.2.12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{1 - (- 6)}{- {(- 6)}^{2} - 6 + 16} > 0$

ステップ 3.2.12.1.3

左辺 $- 0.2\overline{692307}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.2.12.2

区間 $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.2.1

区間 $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 3.2.12.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{1 - (0)}{- {(0)}^{2} + 0 + 16} > 0$

ステップ 3.2.12.2.3

左辺 $0.0625$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.12.3

区間 $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.3.1

区間 $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 3.2.12.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\frac{1 - (3)}{- {(3)}^{2} + 3 + 16} > 0$

ステップ 3.2.12.3.3

左辺 $- 0.2$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.2.12.4

区間 $x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.4.1

区間 $x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 7$

ステップ 3.2.12.4.2

$x$ を元の不等式の $7$ で置き換えます。

$\frac{1 - (7)}{- {(7)}^{2} + 7 + 16} > 0$

ステップ 3.2.12.4.3

左辺 $0.\overline{230769}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ 偽

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ 真

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ 偽

$x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ 真

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ 偽

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ 真

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ 偽

$x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ 真

ステップ 3.2.13

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < 1$ または $x > \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.3

$\frac{1 - x}{- x^{2} + x + 16}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$- x^{2} + x + 16 = 0$

ステップ 3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4.2

$a = - 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 16)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.1.2.2

$4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.1.3

$1$ と $64$ をたし算します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$

ステップ 3.4.3.3

$\frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.4.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

ステップ 3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(\frac{1 - \sqrt{65}}{2}, 1) \cup (\frac{1 + \sqrt{65}}{2}, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$

$\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$

$x > 5$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

区間 $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

区間 $x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\log_{3} (1 - (- 6)) \geq \log_{3} ((- 6) + 16 - {(- 6)}^{2})$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

右辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.2

区間 $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

区間 $\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3.27$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3.27$ で置き換えます。

$\log_{3} (1 - (- 3.27)) \geq \log_{3} ((- 3.27) + 16 - {(- 3.27)}^{2})$

ステップ 5.2.3

左辺 $1.32131584$ は右辺 $0.64765999$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.3

区間 $- 3 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

区間 $- 3 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\log_{3} (1 - (0)) \geq \log_{3} ((0) + 16 - {(0)}^{2})$

ステップ 5.3.3

左辺 $0$ は右辺 $2.52371901$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間 $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

区間 $1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 5.4.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\log_{3} (1 - (3)) \geq \log_{3} ((3) + 16 - {(3)}^{2})$

ステップ 5.4.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.4.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.5

区間 $\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

区間 $\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4.77$

ステップ 5.5.2

$x$ を元の不等式の $4.77$ で置き換えます。

$\log_{3} (1 - (4.77)) \geq \log_{3} ((4.77) + 16 - {(4.77)}^{2})$

ステップ 5.5.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.5.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.6

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 5.6.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\log_{3} (1 - (8)) \geq \log_{3} ((8) + 16 - {(8)}^{2})$

ステップ 5.6.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.6.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.7

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ 偽

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ 真

$- 3 < x < 1$ 偽

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ 偽

$\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ 偽

$x > 5$ 偽

$x < \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ 偽

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x < - 3$ 真

$- 3 < x < 1$ 偽

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$ 偽

$\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < 5$ 偽

$x > 5$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x \leq - 3$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$\frac{1 - \sqrt{65}}{2} < x \leq - 3$

区間記号：

$(\frac{1 - \sqrt{65}}{2}, - 3]$

ステップ 8

代数 例

代数例